articulador 1

quarta-feira, 30 de novembro de 2016

Determinantes

Triângulo equilátero inscrito numa circunferência

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com


O uso da geometria plana, das suas definições, conceitos e fórmulas é muito comum em diversas situações cotidianas. Diariamente nos envolvemos com situações em que a geometria se faz presente, como o cálculo de comprimentos, áreas, medidas de ângulos e outras. É um dos ramos da matemática que mais apresenta aplicações na vida prática, portanto, fundamental é conhecer, compreender e aplicar suas fórmulas na resolução de situações-problema.

Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida do raio.

Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura.
Onde a é o apótema do triângulo equilátero.

O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja,
Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja:
Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:

A = base x altura

Para o triângulo equilátero, sabemos que:

Logo, a área do triângulo equilátero será:
Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:
Daí, obtemos a seguinte igualdade:
Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:
Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio.

Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo-se somente o valor do raio. Segue que:
Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área dessa circunferência.

Solução: Para determinar a área da circunferência precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado do triângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Conjunto

Podemos efectuar algums Relações entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de UM conjunto. Essa Relações possuem características específicas e REPRESENTACOES próprias. Vamos caracterizar cada umha delas.

• Igualdade de conjuntos

Podemos Dizer que Dois ou mais conjuntos São iguais se os elementos de UM forem idênticos aos dos demais, matematicamente representamos umha igualdade cabelo sinal =.

Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} eo conjunto B = {4, 3, 2, 1, 0}, observando os elementos de cada conjunto percebe que São idênticos, entao podemos
Dizer que A = B (A igual a B).

Quand comparamos A e B e eles Não São iguais dizemos que São diferentes representados assim A ≠ B.

• relaçao de inclusão

Ao compararmos Dois conjuntos percebe que eles Nem sempre iguais, mas em alguns casos alguns elementos sim. Por exemplo:
Dado o conjunto A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} eles Não São diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos está dentro do conjunto A.
Essa relaçao é chamada de inclusão, ou sejas, o conjunto B é até mesmo, conteúdo, no conjunto A. Representada matematicamente por BA (B está contido em A).

Dado o conjunto C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, Ness Dois conjuntos Não é possivel aplicar a relaçao de inclusão, entao dizemos que CD (C Não está contido em D ), assim como DC (D Não está contido em C).

• relaçao de proximidade

Essa relaçao é utilizada Quand comparamos conjunto com elementos. Quand queremos Dizer que UM elemento qualque está dentro de UM conjunto ou que ele Não está no conjunto, dizemos que ele pertence ou Não pertence a êsse determinado conjunto, Veja o exemplo:

Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos Dizer que - 4 A (- 4 pertence a A) e 5 A (5 Não pertence a A)
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Probabilidades

Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer relacionando o número de casos favoráveis com o número de casos possíveis.

Exemplo 1

Ao lançarmos por duas vezes sucessivas um dado, qual a probabilidade de:

a) ocorrer 2 no primeiro lançamento e um número impar no segundo?

Precisamos que aconteça o seguinte evento: (2,1), (2,3), (2,5). Assim, temos que a probabilidade é de 3 chances em 36.

P(E) = 3/36 = 1/12.

b) a multiplicação entre os números for maior que 10?
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).

P(E) = 16/36 = 4/9

Exemplo 2

Sorteando ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4?

Temos que os múltiplos de 4 compreendidos entre 1 e 50, são: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}, então:

P(E) =12/50 = 6/25


Exemplo 3

Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser:

a) 18?
P(E) = 1/100

b) maior que 63?
P(E) = 34/100 = 17/50

c) formado por dois algarismos
P(E) = 90/100 = 9/10



Exemplo 4

Um baralho possui 52 cartas. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de ser sorteada:

a) a carta com o rei de copas?
P(E) = 1/52

b) uma carta de espadas.
O baralho é formado por quatro naipes: copas, ouro, espadas, paus. Dessa forma temos 13 cartas de copas, 13 cartas de ouro, 13 cartas de espadas e 13 cartas de paus. A probabilidade de retirar uma carta de espadas é dada por:
P(E) = 13/52 = 1/4

c) uma carta que não seja o 6?
Cada número está associado a um naipe, portanto, temos quatro cartas com numeração 6. Então 52 – 4 = 48
P(E) = 48/52 = 12/13

A Fome atual


Criança africana com aspecto de profunda subnutrição.
A fome pode ser expressa de duas formas: aberta ou epidêmica; e oculta ou endêmica.

A fome aberta ocorre em períodos em que acontecem guerra em um determinado lugar, desastres ecológicos ou pragas que compromete drasticamente o fornecimento de alimentos, isso ocasiona a morte de milhares de pessoas.

Atualmente esse tipo de fome não tem ocorrido. Hoje existem vários organismos humanitários que fornecem alimentos às áreas afetadas por conflitos.

A fome oculta possui outra característica, é aquela no qual o indivíduo não ingere a quantidade mínima de calorias diárias, o resultado disso é a desnutrição ou subnutrição que assola 800 milhões de pessoas em todo mundo.

A subnutrição fragiliza a saúde, tornando a pessoa acessível a doenças. Houve uma diminuição relativa no mapa da fome, mas a realidade ainda é alarmante.

Observando esse panorama, nota-se que a fome ou subnutrição não é decorrente da produção insuficiente de alimentos, pelo contrário, ano após ano a produção tem aumentado o volume, e é fato que a produção de alimentos é mais do que suficiente para suprir as necessidades da população mundial.
Veja Mais!
Fome, miséria e altos impostosA elevada carga tributária pode contribuir para o aumento da forme.
Thomas Malthus
Teoria ligada ao equilíbrio entre produção de alimentos e população.
Fome oculta
Causada pela má alimentação do indivíduo.
Eduardo de Freitas

Hidrocarbonetos

Hidrocarbonetos são compostos formados exclusivamente de carbono e hidrogênio, que também são chamados hidrocarburetos, carboidretos, carbetos, carburetos ou carbonetos de hidrogênio.

Os fogos sagrados de Baku, capital do Azerbaijão, situada à beira do mar Cáspio, assombraram seus antigos habitantes, que ignoravam a origem do fenômeno. Modernamente sabe-se que se devem à constante combustão dos vapores de metano e outros hidrocarbonetos.

Classificação e ocorrência

Os hidrocarbonetos se classificam de acordo com a proporção dos átomos de carbono e hidrogênio presentes em sua composição química. Assim, denominam-se hidrocarbonetos saturados os compostos ricos em hidrogênio, enquanto os hidrocarbonetos ditos insaturados apresentam uma razão hidrogênio/carbono inferior e são encontrados principalmente no petróleo e em resinas vegetais.

Os grupos de hidrocarbonetos constituem as chamadas séries homólogas, em que cada termo (composto orgânico) difere do anterior em um átomo de carbono e dois de hidrogênio. Os termos superiores da série homóloga saturada, de peso molecular mais alto, encontram-se em alguns tipos de petróleo e como elementos constituintes do pinho, da casca de algumas frutas e dos pigmentos das folhas e hortaliças.

Os hidrocarbonetos etilênicos, primeiro subgrupo dos insaturados, estão presentes em muitas modalidades de petróleo em estado natural, enquanto os acetilênicos, que compõem o segundo subgrupo dos hidrocarbonetos insaturados, obtêm-se artificialmente pelo processo de craqueamento (ruptura) catalítico do petróleo. Os hidrocarbonetos aromáticos foram assim chamados por terem sido obtidos inicialmente a partir de produtos naturais como resinas ou bálsamos, e apresentarem odor característico. Com o tempo, outras fontes desses compostos foram descobertas. Até a segunda guerra mundial, por exemplo, sua fonte mais importante era o carvão. Com o crescimento da demanda, durante e após a guerra, outras fontes foram pesquisadas. Atualmente, grande parte dos compostos aromáticos, base de inúmeros processos industriais, se obtém a partir do petróleo.

Estrutura e nomenclatura

A estrutura das moléculas dos hidrocarbonetos baseia-se na tetravalência do carbono, isto é, em sua capacidade de ligar-se, quimicamente, a quatro outros átomos, inclusive de carbono, simultaneamente. Assim, as sucessões de átomos de carbono podem formar cadeias lineares, ramificadas em ziguezague, que lembram anéis e estruturas de três dimensões.

Hidrocarbonetos saturados

A fórmula empírica molecular dos hidrocarbonetos saturados, também chamados alcanos ou parafinas, é CnH2n+2, segundo a qual n átomos de carbono combinam-se com 2n + 2 átomos de hidrogênio para formarem uma molécula. Valores inteiros sucessivos de n dão origem aos termos distintos da série: metano (CH4), etano (C2H6), propano (C3H8), butano (C4H10) etc.

A partir do quarto termo da série, o butano, os quatro carbonos podem formar uma cadeia linear ou uma estrutura ramificada. No primeiro caso, o composto se denomina n-butano. Na estrutura ramificada, um átomo de carbono se liga ao carbono central da cadeia linear formada pelos outros três, formando o iso-butano, ou pode dar origem a uma estrutura cíclica, própria do composto chamado ciclobutano, em que os átomos de carbono das extremidades estão ligados entre si. A existência de compostos com mesma fórmula molecular, mas com estruturas diferentes, é fenômeno comum nos hidrocarbonetos, designado como isomeria estrutural. As substâncias isômeras possuem propriedades físicas e químicas semelhantes, mas não idênticas, e formam, em certos casos, moléculas completamente diferentes.

Os termos da série saturada são nomeados a partir do butano com o prefixo grego correspondente ao número de átomos de carbono constituintes da molécula: penta, hexa, hepta etc., acrescidos da terminação "ano". Nos cicloalcanos, hidrocarbonetos de cadeia saturada com estrutura em anel, a nomenclatura faz-se com a anteposição da palavra "ciclo" ao nome correspondente ao hidrocarboneto análogo na cadeia linear. Finalmente, os possíveis isômeros presentes na série saturada cíclica se distinguem por meio de números, associados à posição da ramificação no ciclo.

Hidrocarbonetos insaturados

O primeiro grupo de hidrocarbonetos insaturados, constituído pelos compostos etilênicos, também chamados alcenos, alquenos ou olefinas, tem como característica estrutural a presença de uma dupla ligação entre dois átomos de carbono. Sua fórmula molecular é CnH2n e os primeiros termos da série homóloga correspondente recebem o nome de etileno ou eteno (C2H4), propileno ou propeno (C3H6), butileno ou buteno (C4H8) etc. Os termos seguintes têm uma nomenclatura análoga à dos hidrocarbonetos saturados, acrescidos da terminação "eno".

A posição da dupla ligação na molécula dos alcenos pode dar origem a diferentes isômeros. Para distingui-los, o número do primeiro carbono a conter essa ligação precede o nome do hidrocarboneto na nomenclatura desses compostos. Existem, ainda, hidrocarbonetos etilênicos com mais de uma dupla ligação -- denominados dienos, quando possuem duas ligações, e polienos, com três ou mais. O grupo mais importante dessa classe de hidrocarbonetos constitui-se de compostos com duplas ligações em posições alternadas, os dienos conjugados. A nomenclatura dos alcenos de estrutura anelar, ditos cicloalquenos, é formalmente análoga à dos cicloalcanos.

Os alcinos ou alquinos (de fórmula molecular CnH2n-2), também conhecidos como hidrocarbonetos acetilênicos e componentes do segundo grupo dos compostos insaturados, apresentam ligação tripla em sua estrutura e sua nomenclatura é similar à dos alcenos, com a terminação "ino" que lhes é própria. Os cicloalquinos inferiores (de baixo peso molecular) são instáveis, sendo o ciclo-octino, com oito átomos de carbono, o menor alcino cíclico estável conhecido.

Hidrocarbonetos aromáticos

A estrutura do benzeno, base dos hidrocarbonetos aromáticos, foi descrita pela primeira vez por Friedrich August Kekulé, em 1865. Segundo ele, a molécula do benzeno tem o formato de um hexágono regular com os vértices ocupados por átomos de carbono ligados a um átomo de hidrogênio. Para satisfazer a tetravalência do carbono, o anel benzênico apresenta três duplas ligações alternadas e conjugadas entre si, o que lhe confere sua estabilidade característica.

Os hidrocarbonetos da série homóloga benzênica subdividem-se em três grupos distintos. O primeiro constitui-se de compostos formados pela substituição de um ou mais átomos de hidrogênio do anel pelos radicais de hidrocarbonetos. Esses compostos têm seus nomes derivados do radical substituinte, terminado em "il", e seguidos da palavra "benzeno". Alguns, no entanto, apresentam denominações alternativas (ou vulgares), mais comumente empregadas. Assim, o metil-benzeno é conhecido como tolueno, o dimetil-benzeno como xileno etc.

No segundo grupo, encontram-se os compostos formados pela união de anéis benzênicos por ligação simples entre os átomos de carbono, como a bifenila, ou com um ou mais átomos de carbono entre os anéis. Por último, o terceiro grupo de hidrocarbonetos aromáticos constitui-se de compostos formados por condensação de anéis benzênicos, de modo que dois ou mais átomos de carbono sejam comuns a mais de um anel, tais como o naftaleno, com dois anéis, e o antraceno, com três.

Propriedades e aplicações

Os hidrocarbonetos em geral são insolúveis em água, mas se solubilizam prontamente em substâncias orgânicas como o éter e a acetona. Os primeiros termos das séries homólogas são gasosos, enquanto os compostos de maior peso molecular são líquidos ou sólidos. Graças a sua capacidade de decompor-se em dióxido de carbono e vapor d'água, em presença de oxigênio, com desprendimento de grande quantidade de energia, torna-se possível a utilização de vários hidrocarbonetos como combustíveis.

Os hidrocarbonetos saturados, ou parafinas, caracterizam-se sobretudo por ser quimicamente inertes. Industrialmente, são empregados no processo de craqueamento (cracking) ou ruptura, a elevadas temperaturas, e produzem misturas de compostos de estruturas mais simples, saturados ou não. A hidrogenação catalítica dos alcenos é utilizada, em escala industrial, para a produção controlada de moléculas saturadas. Esses compostos são usados ainda como moderadores nucleares e como combustíveis (gás de cozinha, em automóveis etc.).

Os hidrocarbonetos insaturados com duplas ligações têm a capacidade de realizar reações de adição com compostos halogenados e formam importantes derivados orgânicos. Além disso, com a adição de moléculas de alcenos, é possível efetuar a síntese dos polímeros, empregados industrialmente no fabrico de plásticos (polietileno, teflon, poliestireno etc) e de fibras sintéticas para tecidos (orlon, acrilan etc.). Além disso, faz parte da gasolina uma importante mistura de alquenos. Metade da produção de acetileno é utilizada, como oxiacetileno, na soldagem e corte de metais. Os hidrocarbonetos aromáticos, além de bons solventes, são empregados na produção de resinas, corantes, inseticidas, plastificantes e medicamentos.

©Encyclopaedia Britannica do Brasil Publicações Ltda

Autoria: Daniel Salomão Carvalho

EQUAÇÕES BIQUADRADAS



Definição

Chama-se equações biquadradas toda equação que pode ser coclocada na forma:







EXERCÍCIOS

1) Quais são equeções biquadradas?


RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO BIQUADRADA EM R

As equações biquadradas podem ser transformadas em equações do 2º grau mediante mudança de variável. A seguir, mostraremos a resolução de equações biquadradas no conjunto R






EXERCÍCIOS


1) Resolva as equações biquadradas em R



Conjunto

CONCEITO

Conjunto vazio { } ou Ø: um conjunto que não possui elementos.

Subconjuntos: quando todos os elementos de um conjunto A qualquer, pertencem a um outro conjunto B, pode-se dizer, então, que A é um subconjunto de B.

Observações:

- Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio;

- O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de qualquer conjunto.

União de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como união dos conjuntos A e B todos os elementos pertencentes a A ou B.

Intersecção de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como intersecção o conjunto formado por todos os elementos pertencentes a A e B, simultaneamente, ou seja:

Diferença de Conjuntos: dados os conjuntos A e B, define-se como diferença entre A e B (nesta ordem) ao conjunto representado por A-B, formado por todos os elementos pertencentes a A, mas que não pertencem a B.

Produto Cartesiano: dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano A com B, ao conjunto AxB, formado por todos os pares ordenados (x,y), onde x é elemento de A e y é elemento de B, ou seja:

AxB = {(x,y) / x Є A ou y Є B}

Número de subconjuntos de um conjunto: se um conjunto A possuir n elementos, então existirão 2n subconjuntos de A.



CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

0, 1, 2, 3, 4, 5...



CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...



CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Qualquer número que possa ser expresso pela equação a/b desde que seja b ≠ 0: 2/3, 1/5, 5/2 ...

Observação: Existem frações que não possuem representação decimal exata, por exemplo:

5/9 = 0,555...

1/3 = 0,333...

5/3 = 0,833...

Os numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, são chamados de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Em uma dízima periódica, o período é o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente.



DÍZIMAS PERIÓDICAS - CLASSIFICAÇÃO



As dízimas periódicas podem ser simples ou compostas, por exemplo:

Nas DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES o período apresenta-se logo após a vírgula:

5/9 = 0,555... (período: 5)

7/3 = 2,333... (período: 3)

4/33 = 0,1212... (período: 12)

Nas DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS, existe uma paste não periódica entre o período e a vírgula:

1/45 = 0,0222... (Período: 2) Parte não periódica: 0

1.039/900 = 1,15444... (Período: 4) Parte não periódica: 15

61/495 = 0,1232323... (Período: 23) Parte não periódica: 1

Observação: a parte não periódica de uma dízima é o termo situado entre vírgulas e o período, excluímos, portanto, da parte não periódica do inteir.



GERATRIZ DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA



A fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica é chamada de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinar a geratriz de uma dízima:

Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem o período como numerador, e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período, por exemplo:

0,777... = 7/9

0,2323... = 23/99

Dízima composta

A geratriz da dízima composta é uma fração da forma n/d, onde:

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica, e

d são tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

0,1252525... = 125-1/990 = 124/990

0,047777... = 047-04/900 = 43/900





CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)



Os números irracionais são decimais infinitas não periódicas, ou seja, os números que não podem ser escrito na forma de fração (divisão de dois inteiros). Como exemplo de números irracionais, temos a raiz quadrada de 2 e a raiz quadrada de 3:

UM NÚMERO IRRACIONAL BASTANTE CONHECIDO É O NÚMERO
π =3,1415926535...

EXEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONAIS: V2, V5, π



CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS



Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z) e b = Im(z)

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras possui inúmeras aplicações nas diversas áreas de atuação do homem. A área de transportes é considerada muito importante para o desenvolvimento de um país, o teorema de Pitágoras está presente nela contribuindo na sua logística e no desenvolvimento cotidiano, no intuito de dinamizar cada vez mais o setor.

Imagine a seguinte situação:

Dois navios A e B partem em sentidos diferentes: o primeiro para o norte e o segundo para o leste, o navio A com velocidade constante de 30 Km/h e o navio B com velocidade constante de 40 Km/h. Qual será a distância entre eles após 6 horas?

Distância percorrida pelo navio A após 6 horas:
D = 30*6 = 180 Km

Distância percorrida pelo navio B após 6 horas:
D = 40 * 6 = 240 Km

Veja o esquema:

Aplicando o Teorema de Pitágoras


Exemplo 2

De posse de um mapa (veja figura), o motorista de um caminhão de entrega de eletrodomésticos precisa saber qual a distância entre as cidades A e B, pois dependendo da distância precisa abastecer o caminhão para não ter surpresas desagradáveis na viagem, falta de combustível ou atraso na entrega.

Purificação de Substâncias Orgânicas


Na natureza raramente encontramos substâncias puras. Em função disso, é necessário utilizarmos métodos de separação se quisermos obter uma determinada substância.

Nós reconhecemos que uma substância é pura ou purificada, ou que ela foi realmente separada das outras substâncias que a acompanhavam numa mistura, pelas propriedades que a substância nos apresenta.

Façamos uma comparação. Como nós reconhecemos na rua, uma pessoa conhecida ou um parente? Evidentemente, pelas características dessa pessoa como sexo, estatura, fisionomia, cor da pele, cabelos, olhos, etc... Analogamente, nós reconhecemos uma substância química por suas propriedades características, como cor, brilho, cheiro, etc...

De um modo mais geral podemos dizer que as propriedades das substâncias podem ser classificadas em propriedades gerais, propriedades funcionais e propriedades específicas.

O método de recristalização de uma substância é basicamente quando os dois (ou mais) sólidos são solúveis num mesmo líquido, podendo acontecer que, durante a evaporação do solvente, um dos sólidos venha a se cristalizar antes, separando-se do outro sólido que ainda permanece em solução.

Pode acontecer de um dos sólidos ser insolúvel no solvente (então cristaliza-se somente o puro). Uma bolinha de naftalina (naftaleno comercial), por exemplo, não contém apenas naftaleno, mas também algumas impurezas. Essas impurezas podem ser separadas através de dissolução seguida de uma filtração e evaporação, se as impurezas forem solúveis no solvente que dissolve o naftaleno.

Para se efetuar a purificação de um composto orgânico por recristalização segue-se basicamente o seguinte procedimento (vamos utilizar como exemplo a Naftalina):

1. Triture aproximadamente 4 bolinhas de Naftalina em um almofariz.
2. Pese 3,0 g (precisão 0,1 mg) de Naftalina triturada (pulverizada).
3. Colocar em um becher de 250 ml.
4. Junte 50 ml de álcool e aqueça cuidadosamente em banho-maria (cuidado: etanol é inflamável), até a dissolução total da Naftalina.
5. Dobre o papel de filtro de maneira a obter um cone ondulado (como se fosse um leque).
6. Filtre a solução quente, recolhendo o filtrado em um outro becher de 250 ml (use um funil de haste curta).
7. Deixe esfriar o filtrado a temperatura ambiente, e depois em banho de gelo.
8. Pese um papel de filtro (precisão 0,1 mg), já cortado anteriormente para que se adapte ao funil de Büchner.
9. Filtre a solução anterior à vácuo e deixe os cristais secando (a vácuo).
10. Pese a Naftalina recristalizada e determine a quantidade de impurezas.

Considerações sobre a Purificação e Recristalização da Naftalina (Composto Orgânico).

Neste experimento, deve-se aquecer a naftalina até a dissolução total em álcool porque somente a naftalina vai dissolver-se no mesmo e as outras impurezas ficarão insolúveis em meio ao álcool ou evaporarão.

Para uma separação mais eficiente das impurezas deve-se filtrar a solução ainda quente para que não ocorra da naftalina recristalizar-se e ficar retida no filtro junto com as impurezas (a naftalina quente não fica retida no filtro pois, ela está dissolvida em meio ao álcool e suas moléculas estão "espalhadas" entre as moléculas do álcool e como este passa pelo filtro sem ficar retido, ela também passa deixando para trás as impurezas).

Autoria: Fábio Schwarb do Nascimento

Propriedades organolépticas Identificação pelos nossos sentidos


Características de uma substância que podem ser percebidas com nossos sentidos são chamadas de propriedades organolépticas.

Identificar substâncias é uma das atividades realizadas pela química analítica. Muitas vezes nos deparamos com situações que necessitam dessa atividade: uma empresa recebe um carregamento de uma substância e deve verificar se o que recebeu é realmente o que foi pedido; um detetive forense precisa saber se a mancha encontrada em uma roupa é sangue; um ourives quer saber se o metal que comprou é ou não ouro.

Todas as substâncias possuem determinadas características que podem identificá-las. Algumas propriedades só podem ser aferidas através de sofisticados equipamentos e outras de maneira muito mais simples.

Se você pegar um pedaço de alumínio e outro de estanho na mão, mesmo que não lhe digam qual é qual, você é perfeitamente capaz de identificá-los: o alumínio é mais claro e prateado enquanto o estanho é mais escuro e amarelado.

Propriedades organolépticas
Se em sua cozinha existirem dois potes sem identificação, um contendo sal e outro açúcar, você também os identifica pelo gosto salgado ou doce. Um recipiente com óleo diesel e outro com gasolina também conseguem ser identificados apenas pela sua aparência.

Veja que em todos os exemplos duas coisas são comuns: você sabe o que são embora não saiba qual é qual e, para identificá-los não foi necessário nenhum método especial, você utilizou apenas seus próprios sentidos: olfato, tato, visão e paladar. Como você viu, as propriedades organolépticas, não devem ser desprezadas na identificação das substâncias.

Quando não confiar nas propriedades organolépticas
Algumas substâncias têm propriedades organolépticas muito características e, desde que tenhamos uma prévia noção do que se trata, podemos classificá-la com certeza. Imagine que você tenha uma situação onde não há essa prévia noção. Imagine que lhe entreguem dois frascos com os seguintes sais: cloreto de potássio e cloreto de sódio. Os dois estão em pó, os dois são brancos, não têm cheiro e, como você não sabe se podem lhe fazer mal, não irá prová-los. Neste caso as propriedades organolépticas não foram muito úteis.

Quando confiar nas propriedades organolépticas
Excluindo casos óbvios como os dos exemplos que já demos, vamos pensar em outra coisa: mesmo não podendo chegar ao resultado final, podemos "filtrar" nossa busca com base em algumas observações. Você recebe um bloco sólido para identificar. O simples fato de ser um sólido já excluirá uma série de substâncias - oxigênio, por exemplo - observando o bloco, você também é capaz de dizer se é um metal, um pedaço de um sal ou até mesmo de origem orgânica. Percebeu que mesmo não tendo obtido uma identificação positiva você consegue afunilar sua busca ganhando bastante tempo e excluindo muitas substâncias? Trocando em miúdos: mesmo não sabendo quem é, podemos excluir muitos que não são.

Cuidado!
Embora tenhamos dito que as propriedades organolépticas podem ser muito úteis, não devemos, em hipótese alguma, cheirar ou provar substâncias desconhecidas pois, se não sabemos quem é, não sabemos que mal pode nos fazer e, mesmo que saibamos do que se trata, não conhecemos sua pureza nem sua esterilidade (pode estar biologicamente contaminado).

Em tempo
Quer saber como diferenciar o cloreto de sódio do cloreto de potássio, que usamos como exemplo: misture um pouco de álcool a eles e coloque fogo. A chama do sódio é cor de laranja e a do potássio violeta.
Fábio Rendelucci é professor de química e física, diretor do cursinho COC-Universitário de Santos e presidente da ONG Sobreviventes.

Substâncias


Uma das maiores confusões que as pessoas fazem na hora de classificar as substâncias reside nos quesitos de substância simples e substância pura. Para que isso fique claro é fundamental que entendamos bem algumas coisas antes de chegarmos a essa classificação:

O átomo é uma unidade fundamental, primária que constitui a matéria. O que queremos dizer é que toda matéria é constituída por átomos. Os átomos são diferenciados uns dos outros pelo seu número atômico (que você deve lembrar que corresponde ao número de prótons que ele possui).

Elementos químicos, aqueles que encontramos na tabela periódica, representam átomos de mesmo número atômico. Assim, todo e qualquer átomo que apresentar, por exemplo, oito prótons e conseqüentemente possui número atômico Z=8, será um átomo do elemento oxigênio.

Você também sabe que os átomos se combinam, se ligam entre si formando o que chamamos de moléculas. Perceba que uma molécula pode, a princípio, ser formada pela "combinação" de qualquer número de átomos de qualquer elemento químico.

Substâncias químicas
Os átomos ligados, ou seja, as moléculas, representam o que chamamos de substância química, cada uma identificada por uma fórmula química como, por exemplo, H2O, que representa a substância água e indica que sua composição é de dois átomos do elemento hidrogênio e um átomo do elemento oxigênio.

Isso posto, podemos perceber algumas coisas:

# O2 - é a fórmula da substância oxigênio, composta por dois átomos, ambos do elemento oxigênio.
# CO2 - é a fórmula da substância dióxido de carbono, composta por três átomos, sendo dois do elemento oxigênio e um do elemento carbono.
# C6H6 - é a fórmula da substância benzeno, composta por 12 átomos, sendo seis do elemento carbono e seis do elemento hidrogênio.

Quando classificamos uma substância podemos fazê-lo levando em conta:

1) Número de átomos: obviamente se refere ao número de átomos que a constitui, independentemente do elemento que cada um representa. Veja:

* Ar (gás argônio) - monoatômica (um único átomo);
* O2 (oxigênio), CO (monóxido de carbono), NaCl (cloreto de sódio) - diatômica (dois átomos);
* CO2 (dióxido de carbono), H2O (água), - triatômica (três átomos)


e assim por diante.

2) Número de elementos que constitui a molécula: Cuidado! Isso não tem nada a ver com o número de átomos! Veja:

* Ar (gás argônio) - um único elemento: argônio
* O2 (oxigênio) - um único elemento: oxigênio
* CO (monóxido de carbono) - dois elementos: carbono e oxigênio
* CO2 (dióxido de carbono) - dois elementos: carbono e oxigênio
* NaCl (cloreto de sódio) - dois elementos: sódio e cloro
* H2O (água) - dois elementos: hidrogênio e oxigênio



Uma substância é classificada como simples quando sua molécula é formada por um único tipo de elemento, independentemente do número de átomos que possui. Substâncias cujas moléculas são formadas por dois ou mais elementos químicos são chamadas de compostas. Retomando o exemplo, teremos:

* O2 - Substância simples
* CO, CO2, NaCl, H2O - Substâncias compostas



Substâncias puras
Diferentemente do que o nome possa sugerir, as substâncias puras não são aquelas formadas nem por um único átomo (monoatômicas), nem por um único elemento químico (simples). Substâncias são consideradas puras quando em uma amostra só encontramos moléculas daquela substância, sem nenhuma outra presente.

Por exemplo: na água destilada encontramos única e exclusivamente moléculas da substância água (H2O). Mesmo a água sendo uma molécula triatômica e composta (possui os elementos H e O), essa amostra é de uma substância pura.

Amostras onde são encontradas moléculas de mais de uma substância, são chamadas de misturas.

O ar atmosférico é um bom exemplo de uma mistura em que encontramos várias substâncias simples, como N2, O2, H2, Ar, e outras compostas, como CO, CO2, etc.

Espero que vocês não confundam mais os conceitos de substâncias simples e substâncias puras. Esses conceitos são muito importantes para sua base de conhecimento em química.
*Fábio Rendelucci é professor de química e física, diretor do cursinho COC-Universitário de Santos e presidente da ONG Sobreviventes.

Compostos orgânicos - nomenclatura Como dar nomes aos compostos orgânicos?

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
WWW.profantoniocarneiro.com

Antigamente, quando poucos compostos orgânicos eram conhecidos, os novos compostos recebiam um nome escolhido por seu descobridor. Assim, a uréia (CH4N2O) é uma substância cristalina isolada da urina; a morfina (C17H19NO3) é um analgésico cujo nome provém de Morfeu, o deus grego dos sonhos; e o ácido barbitúrico é um agente tranquilizador, que recebeu esse nome em homenagem a uma amiga de seu descobridor, chamada Bárbara.

Com o desenvolvimento da química orgânica no século 19, o número de compostos orgânicos conhecidos também aumentou progressivamente e houve a necessidade de um método sistemático para nomeá-los. O sistema de nomenclatura que apresentaremos neste texto foi desenvolvido pela Internacional Union of Pure and Applied Chemistry (IUPAC - União Internacional de Química Pura e Aplicada).

Iniciemos pelos nomes dos alcanos: sua nomenclatura está diretamente relacionada ao número de átomos de carbono na cadeia, como apresentado na Tabela 1 (abaixo). Com exceção dos quatro primeiros compostos (metano, etano, propano e butano), cujos nomes apresentam raízes históricas, a nomenclatura dos alcanos é baseada nos números gregos. O sufixo "ano" é adicionado ao final de cada nome para identificar a molécula como um alcano.

Assim, pentano é um alcano com cinco átomos de carbono, hexano é um alcano com seis átomos de carbono, e assim por diante. Os alcanos formam a base de nomenclatura para todos os outros compostos orgânicos. Portanto, os nomes dos dez primeiros alcanos acabam memorizados por força do emprego.

Tabela 1 - Nomes dos alcanos de cadeia linear
no* nome no nome
1 Metano 17 Heptadecano
2 Etano 18 Octadecano
3 Propano 19 Nonadecano
4 Butano 20 Icosano
5 Pentano 21 Henicosano
6 Hexano 22 Docosano
7 Heptano 23 Tricosano
8 Octano 30 Triacontano
9 Nonano 31 Hentriacontano
10 Decano 40 Tetracontano
11 Undecano 41 Hentetracontano
12 Dodecano 50 Pentacontano
13 Tridecano 60 Hexacontano
14 Tetradecano 70 Heptacontano
15 Pentadecano 80 Octacontano
16 Hexadecano 100 Hectano
* Número de átomos de carbono

O nome dos compostos orgânicos é constituído de três partes, de acordo com o sistema de nomenclatura da IUPAC: prefixo (composto principal), infixo (ligações simples, duplas ou triplas) e sufixo (função orgânica).

Conforme mostra o Quadro 1 (abaixo), o prefixo indica a cadeia principal, ou seja, a parte essencial da molécula nos diz quantos átomos de carbono fazem parte dessa cadeia; o infixo indica a presença de ligações simples, duplas ou triplas entre os átomos de carbono; e, finalmente, o sufixo identifica a função química, ou seja, a classe orgânica à qual pertence a molécula.


Outro aspecto importante da nomenclatura dos compostos orgânicos é o substituinte da molécula. Como, por exemplo, os radicais do grupo alquila (estrutura resultante da remoção de um átomo de hidrogênio de um alcano). Antes de entender o processo de construção do nome de um composto orgânico é bom compreender o grupo alquila.

Grupos alquila
Os grupos alquila são nomeados substituindo-se a terminação - ano do alcano de origem - pelo sufixo "ila". Por exemplo, a remoção de um átomo de hidrogênio do metano, CH4, resulta em um grupo metila, -CH3. A remoção de um átomo de hidrogênio do etano, CH3CH3, resulta em um grupo etila, -CH2CH3. De modo semelhante, a remoção de um átomo de hidrogênio do carbono da extremidade de qualquer n-alcano origina uma série de grupos alquila de cadeia linear exibidos no Esquema 1:


Da mesma forma que os grupos alquila de cadeia linear são gerados pela remoção de um hidrogênio de um carbono final, como mostrado no esquema, outros grupos alquila são gerados pela remoção de um átomo de hidrogênio de um carbono interno.

Dois grupos alquila com três átomos de carbono e quatro grupos alquila com quatro átomos de carbono também são possíveis. Veja, a seguir, o Esquema 2:


Após essa breve discussão sobre o grupo alquila, fica mais fácil a assimilação do processo de definição dos nomes dos compostos orgânicos. O processo será explicado usando como base os alcanos, pois esse método acaba se aplicando, de modo similar, às classes de outros compostos orgânicos.

A maioria dos alcanos (de cadeia ramificada) é nomeada seguindo as quatro etapas descritas a seguir. Para alguns poucos compostos é necessária uma quinta etapa.

# Etapa n. 1: Identifique a cadeia principal

(a) Identifique a cadeia de átomos de carbono mais longa e contínua, e use o nome dessa cadeia como o nome da cadeia principal. A cadeia mais longa nem sempre está aparente na representação utilizada para descrever a molécula.

(b) Se duas cadeias diferentes de mesmo comprimento estiverem presentes, escolha aquela com um número maior de ramificações.

Etapa n. 2: Numere os átomos da cadeia principal

(a) Inicie pela extremidade mais próxima da primeira ramificação, numere cada átomo de carbono na cadeia principal.

b) Se existirem ramificações situadas à mesma distância das extremidades da cadeia principal, comece a numerar pela extremidade mais próxima da segunda ramificação.

Etapa n. 3: Identifique e numere os substituintes

(a) Atribua um número para cada grupo substituinte, de acordo com seu ponto de ligação na cadeia principal.

(b) Se existirem dois substituintes no mesmo carbono, eles devem ter o mesmo número. Deve haver muitos números no nome, tantos quantos os de substituintes.


Reprodução
# Etapa n. 4: Escreva o nome do composto com uma única palavra
Use os hífens para separar os diferentes prefixos e utilize vírgulas para os números. Se dois ou mais substituintes estiverem presentes, coloque-os em ordem alfabética. Se forem iguais, use um dos prefixos múltiplos di-, tri-, tetra-, e assim por diante.

Etapa n. 5: Nomeie um substituinte complexo como se ele fosse um composto

Em alguns casos mais complexos, há a necessidade de um quinto passo. Isso geralmente acontece quando um substituinte da cadeia principal é um substituinte com cadeia ramificada.

Quando o nome de um alcano é descrito, o prefixo isso- não fica separado por hífens, sendo considerado parte do nome do grupo alquila. Os prefixos sec- e tert- não são considerados parte do nome. Dessa forma, isopropila e isobutila são colocados em ordem alfabética considerando-se a letra i; contudo, sec-butila e tert-butila ficam em ordem alfabética, de acordo com a letra b.

Explicamos aqui alguns aspectos mais triviais da nomenclatura dos compostos orgânicos. Contudo, como já frisamos, o que foi discutido pode auxiliar no entendimento da construção dos nomes dos mais variados compostos orgânicos.

Sugerimos a leitura do texto Compostos orgânicos - Fórmulas estruturais e principais classes para um entendimento mais geral dos principais compostos estudados na química orgânica.

Fontes
K. P. C. Vollhardt, N. E. Schore. Química Orgânica - Estrutura e Função. 4ª Ed. - Porto Alegre: Bookman, 2004. T. W. G. Solomons, C. B. Fryle. Química Orgânica - volume 1. 8ª Ed. - Rio de Janeiro: LTC, 2005. P. Y. Bruice. Química Orgânica - volume 1. 4ª Ed. - Rio de Janeiro: Pearson / Prentice Hall.

Regra de Três Simples e composta



Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m², uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m², qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m²) Energia (Wh)
1,2--------400
1,5-------- x

Identificação do tipo de relação:

Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5---------- X↓



Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:


Área--------Energia
1,2---------400↓
1,5-----------x↓


1,2X = 400.1,5


x= 400.1,5 / 1,2

x= 500

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.


2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

Solução: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400-----------------3
480---------------- x

2) Identificação do tipo de relação:

velocidade----------tempo
400↓-----------------3↑
480↓---------------- x↑

Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima

velocidade----------tempo
400↓-----------------X↓
480↓---------------- 3↓



480X = 400 . 3

x = 400 . 3 / 480

X = 2,5


Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.

Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.




3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?

Solução: montando a tabela:

Camisetas----preço (R$)
3------------- 120
5---------------x

3x=5.120

o três vai para o outro lado do igual dividindo

x = 5.120/3

x= 200


Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta.
Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.


4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?

Solução: montando a tabela:

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑------------------------20↓
5↑------------------------x ↓

invertemos os termos

Horas por dia-----Prazo para término (dias)

8↑-------------------------x↑
5↑------------------------20↑


5x = 8. 20

passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:

5x = 8. 2 / 5

x = 32

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta.
Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:



EXERCICIOS

1) Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)

2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)

3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)

4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)

5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)
6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)

7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)

8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)

9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)

10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)

11) Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)

12) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)

13) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)

14) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)

15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)

16) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)

17) Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)
18) Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)

19) Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)
20) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)

21) Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)




REGRA DE TRÊS COMPOSTA


regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↑
5↑------------------x↓----------------------125↑

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Horas --------caminhões-----------volume
8↑----------------20↓----------------------160↓
5↑------------------x↓----------------------125↓


20/ x = 160/125 . 5/8 onde os temos da ultima fração foram invertidos

simplificando fica

20/x = 4/5

4x = 20 . 5

4x = 100

x = 100 / 4

x = 25

Logo, serão necessários 25 caminhões

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:



Homens----- carrinhos------ dias
8-----------------20--------------5
4-------------------x-------------16

Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

20/x= 8/4 . 5/16

20 / x = 40 / 64

40x = 20 . 64

40 x = 1280

x = 1280 / 40

x = 32

Logo, serão montados 32 carrinhos



EXERCICIOS


1) Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia. Quantos tijolos produzirão em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia? (R=5600)

2) Oitenta pedreiros constroem 32m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias? (R=10)

3) Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerão em 10 dias, correndo 14 horas por dia? (R=4340)

4) Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia? (R=1350)

5) Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço, se trabalharem 20 horas por dia durante 12 dias? (R=8)

6) Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias ? (R=6)

7) Um ciclista percorre 150 km em 4 dias pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia? (R=8)

8) Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias? (R=10)

9) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? (R: 6 horas.)

10) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? (R: 35 dias).
11) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? (R: 15 dias.)

12) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? (R: 10 horas por dia.)

13) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)

14) Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas serão gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de altura? (R: 3 latas)

15) Três máquinas imprimem 9000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8 máquinas imprimem 12000 cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia (R: 6 dias )

16) Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gatam 4 horas. Para produzir 15 camisas, 4 máquinas quantas horas gastam? (R: 6 horas)

17) Nove operários produzem 5 peças em 8 dias. Quantas peças serão produzidas por 12 operários em 6 dias ? (R: 5 peças)

18) Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 Kg de ração, Em quantos dias 15 cachorros consumirão 75 kg de ração ? (R: 14 dias)

Porcentagem

Utilizamos o calculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano .toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.

Exemplo:

12/100 é igual a 0,12 que multiplicado por 100 será igual a 12%

5/100 é igual a 0,05 que multiplicado por 100 será igual a 5%


Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento.
Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.

Exemplos:

O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%.
A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano.
Desconto de 25% nas compras à vista.

Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.

Exemplos:

25%/100 será igual a 0,25
7%/100 será igual a 0,07

Exemplos:

1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista?
300 .10 = 3000 este resultado divido por 100 será igual a 30 reais

sendo assim

300 – 30 = 270
Logo, pagarei 270 reais


EXERCÍCIOS

1) Escreva as razões na forma de taxa porcentual

a) 1/100 = 7%
b) 9/100 = 9%
c) 35/100 = 35%
d) 100/100 = 100%
e) 143/100 = 143 %

2) escreva na forma de razões centesimais

a) 3% = 3/100
b) 8% = 8/100
c) 34% = 34 /100
d) 52% = 52 / 100
e) 89% = 89 /100

3) Escreva as razões forma de taxa porcentual:

a) 1/4 = 25%
b) 3/5 = 60%
c) 7/10 = 70%
d) 1/50 = 2%
e) 9/25 = 36%
f) 17/10 = 170%
g) 7/2 =350%
h) 5/4 = 125%
i) 3/8 = 37,5%

4) calcule a porcentagens:

a) 8% de R$ 700,00 = R$ 56,00
b) 5% de R$ 4.000,00 = R$ 200,00
c) 12% de R$ 5.000,00 = R$ 600,00
d) 15% de R$ 2.600,00 = R$ 390,00
e) 100% de R$ 4.520,00 = R$ 4.520,00
f) 125% de R$ 8.000,00 = R$ 10.000,00
g) 3% de 400 = 12
h) 18% de 8600 = 1.548
i) 35% de 42.000 = 14.700
j) 1% de 3000 = 30
l) 120% de 6.200 = 7.440


PROBLEMAS DE PORCENTAGEM
São resolvidos atraés de regra de três simples

exemplo 1

calcular 20% de R$ 700,00

700--------100
X-----------20

100X = 700 . 20

100x = 14000

x = 14000/100

x= 140

resposta : R$ 140,00


MÉTODO PRÁTICO

Exemplo 1

Neste caso, podemos resolver mais rapidamente, lembrando o conceito de fração:

Calcular 20% de R$ 700,00

solução:

20 / 100 . 700 =

20 . 700 / 100 = 14000/ 100 = 140

Resposta : R$ 140,00


Exemplo 2

Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual a taxa de porcentagem dos aprovados?

solução:

40-------36

100------x


40/100 = 36/x

40x = 3600

x = 3600/40

x = 90

Resposta: A aprovação foi de 90%

Exemplo 3

Comprei uma camisa e obtive um desconto de R$ 12,00 que corresponde à taxa de 5%. Qual é o preço da camisa?

100/x = 5/12

5x = 1200

x = 1200 / 5

x = 240

Resposta: A camisa custava R$ 240,00


1) Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes. (R:378)

2) Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS. De quanto é o total de descontos ? (R: 30,40)

3) Comprei uma bicicleta por R$ 500,00, Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei? (R: 75,00)
4) Uma caneta que custava R$60,00 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa caneta? (R: R$ 57,00)
5) Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 720,00 para lucrar 30% ( R: 936,00)
6) Seu pai comprou um rádio por R$ 85,00 e obteve um desconto de 12% . Quanto pagou pelo rádio? (R: 74,80)

7) Um cormeciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12% por que preço deverá vender a mesma? ( 10.640,00)

8) Ao ser pago com atraso, uma prestação de R$ 1.300,00 sofreu um acréscimo de 4% . Qual o valor dessa prestação? (R: 1.352,00)

9) Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados. Qual a taxa de porcentagem dos alunos reprovados? ( R: 15%)

10) Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa de porcentagem das frutas estragadas? (R: 8%)

11) Comprei um objeto por R$ 23.000,00 e revendi com um lucro de R$ 1.610,00. Qual foi a taxa de lucro? (R: 7%)

12) Um comerciante recebeu um desconto de R$ 1.312,00 numa compra cujo valor era de R$ 82.000,00. Calcule a taxa dedesconto? (R: 1,6%)

13) Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro? ( R: 30%)

14) Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes? (R:60%)

15) Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é , 9 alunso. Quantos alunos havia na classe? (R: 60)

16) Meu irmão ganhava R$ 320,00. Seu patrão lhe deu um aumento de 42%. Quanto ganha atualmente? (R: 454,40)

17) Num exame supletivo compareceram 12.600 candidatos e apenas 5% foram aprovados. Quantos candidatos foram aprovados? ( R: 630)

18) De 400 operários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa de porcentagem dos operários, quantos são casados? (R: 30%)

19) Um produto custa R$ 600,00 e é vendido por R$ 750,00. Qual é a taxa de lucro nesse produto? (R: 25%)

20) Comprei uma vitrola por R$ 150,00 e vendi por R$ 129,00. De quanto porcento foi o prejuizo (R: 14%)

21) Um rádio foi comprado por R$ 175,00 e vendido por R$ 199,50. De quanto por cento foi o lucro? (R: 14%)



RAZÃO

Razão é a divisão ou relação entre duas grandezas

exemplos:

1) A razão de 5 para 10 é 5/10, que é igual a 1/2.

2) A razão de 10 para 5 é 10/5, que é igual a 2.

Exercícios

1) Determine a razão do primeiro para o segundo número:

a) 1 e 9 = 1/9
b) 4 e 7 = 4/7
c) 7 e 4 = 7/4
d) 25 e 11 = 25/11
e) 4 e 16 = 4/16 = 1/4
f) 16 e 4 = 16/4 = 4g) 38 e 19 = 38/19 = 2
h) 19 e 38 = 19/38 = 1/2
i) 100 e 48 = 100/48 = 25/12

PROPORÇÃO


Grandezas Proporcionais

O que estudaremos são grandezas que sejam diretamente ou inversamente proporcionais, embora existam casos em que essas relações não se observem, e que portanto, não farão parte de nosso estudo.

Por exemplo, "na partida de abertura de um campeonato, um jogador fez três gols, quantos gols ele fará ao final do campeonato sabendo que o mesmo terá 46 partidas?".

Grandezas Diretamente Proporcionais (G.D.P.)
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais, quando o aumento de uma implica no aumento da outra, quando a redução de uma implica na redução da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá com a outra.

Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.)
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra.



EXERCICIOS
1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?

a) R$ 12.300,00
b) R$ 10.400,00
c) R$ 11.300,00
d) R$ 13.100,00
e) R$ 13.200,00 (X)

2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 130 m de altura?

a) 290m
b) 390m (X)
c) 490m
d) 590m
e) 690m


3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos.

a) 14 e 20 anos
b) 14 e 21 anos (B)
c) 15 e 20 anos
d) 18 e 17 anos
e) 13 e 22 anos


4) (FGV) Em 1º . 03 . 95 , um artigo que custava R$ 250,00 teve seu preço diminuído em p% do seu valor . Em 1o . 04 . 95 , o novo preço foi novamente diminuído em p% do seu valor , passando a custar R$ 211,60 . O preço desse artigo em 31. 03 . 95 era :

a) R$ 225,80
b) R$ 228,00
c) R$ 228,60
d) R$ 230,00 (D)
e) R$ 230,80


5) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas sabendo que a soma é 66 cm².

a) 22cm² e 44cm²
b) 20cm² 46cm²
c) 21cm² e 45cm²
d) 24cm² e 42 cm² (D)
e) 23cm² e 43cm²


6) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 2/3. Achar os volumes.

a) 17cm³ e 28cm³
b) 18cm³ e 27cm³ (B)
c) 19cm³ e 28cm³
d) 20cm³ e 27cm³
e) n.d.a


7) Uma pessoa emprega uma quantia a juros simples de 6% durante 5 anos e o montante a juros simples de 12% ao ano durante 2 anos e recebeu R$ 80.600,00 de montante . Qual o capital inicial ?

a) R$ 50.000 (A)
b) R$ 60.000
c) R$ 70.000
d) R$ 80.000
e) R$ 90.000


8) (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores R$ 9 por cada R$ 1 apostado . O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi de:

a) 800% (A)
b) 90%
c) 80%
d) 900%
e) 9%


9) (FEI) O custo de produção de uma peça é composta por : 30% para mão de obra , 50% para matéria prima e 20% para energia elétrica . Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra , 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de:

a) 60%
b) 160%
c) 24,5% (C)
d) 35%
e) 4,5%


10) (UNESP) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma de mercadorias num determinado "sacolão" sofreu um aumento de 275% . Se o preço do quilograma em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o preço em 10 de fevereiro ?

a) Cr$ 19,00
b) Cr$ 18,00 (X)
c) Cr$ 18,50
d) Cr$ 19,50
e) Cr$ 17,00


11) (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$ 1000 ; e que sejam colocadas em circulação moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado novo . Qual será então o preço , em cruzados novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20,00 ?

a) NCZ$ 0,20
b) NCZ$ 0,30
c) NCZ$ 0,40
d) NCZ$ 0,50 (X)
e) NCZ$ 0,60


12) (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro . A diferença entre os salários é de R$ 500,00 . O salário de Antônio é:

a) R$ 5500,00
b) R$ 4500,00 (X)
c) R$ 4000,00
d) R$ 5000,00
e) R$ 3500,00


13) (FUVEST) Numa certa população 18% das pessoas são gordas , 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas . Qual a porcentagem de homens na população ?

a) 30%
b) 35%
c) 40% (X)
d) 45%
e) 50%


14) (FAAP) Numa cidade , 12% da população são estrangeiros . Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população total ?

a) 1.360.000
b) 13.600.000 (X)
c) 136.000.000
d) 10.531.840
e) 105.318.400


15) (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100% . Supondo que o preço atual seja R$ 100,00 , daqui a 3 anos o preço será.

a) R$ 300,00
b) R$ 400,00
c) R$ 600,00
d) R$ 800,00 (X)
e) R$ 1000,00


16) (FGV) Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao preço inicial:

a) aumentou de 22%
b) decresceu de 21,97% (X)
c) aumentou de 21,97%
d) decresceu de 23%
e) decresceu de 24%


17) (FGV) Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par , vendendo por R$ 25,00 o par . Com este preço , tem havido uma demanda de 2000 pares mensais . O fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares . Com esse aumento no preço de venda seu lucro mensal:

a) cairá em 10%
b) aumentará em 20%
c) aumentará em 17% (X)
d) cairá em 20%
e) cairá em 17%


18) (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual . Então , seu peso atual é:

a) inferior a 30 kg
b) 75 kg
c) 50 kg
d) superior a 75 kg
e) 40 kg (X)


19) (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso . Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18,4 kg a menos . Qual era seu peso original ?

a) 50 kg
b) 60 kg
c) 70 kg
d) 80 kg (X)
e) 40 kg


20) (FGV) Num colégio com 1000 alunos , 65% dos quais são do sexo masculino , todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo . Apurados os resultados , verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano . A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale:

a) 43,5% (X)
b) 45%
c) 90%
d) 17,5%
e) 26%


21) (PUC) Em uma certa comunidade existem 200.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede oficial do Estado, 25.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede particular de ensino e 12.000 professores de 3º grau . Se 2,5% dos professores da rede oficial trabalham na rede particular , se 0,25% dos professores da rede oficial trabalham no 3º grau , e se 2% dos professores da rede particular trabalham no 3º grau , quantos professores possui essa comunidade , se apenas 200 professores trabalham , simultaneamente , na rede pública , particular , e no 3º grau ?

a) 213200
b) 231200 (X)
c) 212300
d) 223100
e) 231000


22) (ESPM) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 3.300,00 . Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário que possui , qual será o novo salário médio ?



a) R$ 3.690,00
b) R$ 369,00
c) R$ 396,00
d) R$ 3.960,00 (X)
e) n.d.a


23) (OSEC) Em apenas 6 meses o preço de um litro de gasolina teve 320% de aumento. Como esse preço era inicialmente de R$ 0,25 , ele passou a ser:

a) R$ 0,80
b) R$ 1,05 (X)c) R$ 1,50
d) R$ 2,80
e) R$ 2,85


24) (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros , dos quais 25% são de leite natural . Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada à essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural ?

a) 40
b) 43
c) 48
d) 50 (X)
e) 60


25) (FGV) Duas irmãs , Ana e Lúcia , têm uma conta de poupança conjunta . Do total do saldo , Ana tem 70% e Lúcia 30% . Tendo recebido um dinheiro extra , o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo na caderneta . Por uma questão de justiça , no entanto , ele disse às meninas que o depósito deveria ser dividido igualmente entre as duas . Nessas condições , a participação de Ana no novo saldo:

a) diminui para 60% (X)
b) diminuiu para 65%
c) permaneceu em 70%
d) aumentou para 80%
e) é impossível de ser calculada se não conhecermos o valor


26) (ESPM) O preço do papel sulfite , em relação ao primeiro semestre de 1989 , teve um aumento de 40% em agosto e um outro de 32% em setembro . No mês de novembro , teve um desconto de 25% . Qual seria o aumento do papel se ele fosse único?

a) 37%
b) 38,6% (X)
c) 36,8%
d) 35,4%
e) 34,5%


27) Um automóvel com velocidade de 80 km/h demora 3h para percorrer uma certa distância.Quanto o tempo demorará para percorrer a mesma distância um outro auto cuja velocidade é de 120 km/h?

a) 2 horas (X)
b) 3 horas
c) 4 horas
d) 5 horas
e) 6 horas


28) Uma roda de 30 dentes engrena com outra de 25 dentes. Quantas voltas dará esta última quando a primeira der 175 voltas.

a) 10 voltas
b) 110 voltas
c) 210 voltas (X)
d) 310 voltas
e) 410 voltas


29) Para forrar as paredes de uma sala são necessárias 20 peças de papel com 80 cm de largura cada. Quantas peças seriam necessárias se as peças tivessem 1m de largura?

a) 15 peças
b) 16 peças (X)
c) 17 peças
d) 18 peças
e) 19 peças

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