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domingo, 30 de outubro de 2016

Triangulo de Pascal

Triangulo de Pascal
A Relação de Stifel é usada principalmente na construção do Triângulo de Pascal.

Definição
O Triângulo de Pascal também é conhecido como Triângulo de Tartaglia, trata-se de uma tabela triangular formada por números binomiais de Newton, onde n representa a linha vertical e k representa as colunas horizontais. Os números ficam dispostos de forma que os binomiais de mesmo numerador situam-se na mesma linha e os de mesmo denominador na mesma coluna.

Anagrama

A restrição principal para as permutações simples é quanto aos elementos que serão permutados, pois é necessário que estes sejam distintos, ou seja, que não se repitam. Entretanto, nem sempre conseguiremos situações nas quais os elementos serão todos distintos. Para isso, deu-se início aos estudos desses casos com repetição.

Algo que é notado quando temos elementos repetidos é que a permutação destes elementos não irá gerar novas possibilidades de mudanças, afinal os elementos são iguais. Para isso, veremos uma expressão especial para ser usada quando temos elementos repetidos.

Por hora, veremos como ocorre a permutação quando apenas um dos elementos do conjunto se repete.

Vejamos um exemplo para proporcionar uma melhor compreensão.

Quantos são os anagramas da palavra OURO?

Note que temos dois elementos repetidos (letra O).

Caso fôssemos permutar normalmente estes elementos, teríamos uma permutação de 4 elementos. Mas veja o que ocorre.



Temos o conjunto de letras R e U para combinar em quatro posições diferentes dessa palavra. Como temos letras repetidas, a permutação delas não gera novas combinações, afinal são elementos iguais.

Sendo assim, a combinação das letras R, U ocorrerá da seguinte forma:



Entretanto, devemos permutar as duas palavras, pois estas geram combinações diferentes.

Sendo assim, teremos:



Note que o 4! representa a permutação de todos os elementos e o 2! representa a permutação da quantidade de elementos repetidos.

Confira outros exemplos de permutações com um elemento repetido:

1) Quantos são os anagramas da palavra MORANGO?
Temos 2 letras repetidas.




2) E com a palavra VENEZUELA?

Veja que o E é repetido 3 vezes. Temos um total de 9 letras, sendo assim, a quantidade de anagramas será dada através da expressão da permutação com repetição de um elemento.


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
fonte:www.alunosonline.com.br

EXPRESSÕES NÚMERICAS



Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        



As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:

1) Potenciação e radiciação;
2) Multiplicação e divisão
3) Adição e subtração

Nessas operações são realizados :

1) parênteses ( )
2) colchetes [ ]
3) chaves { }

exemplos:

calcular o valor das expressões :

1°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31


2°) exemplo

15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7

3°) exemplo

5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões:

a) 5 + ( -3)² + 1 = 15
b) 10 + (-2)³ -4 = -2
c) 12 – 1 + (-4)² = 27
d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7
e) 18 – (+7) + 3² = 20
f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3
g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14
h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127
i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19
j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24

2) Calcule o valor das expressões:

a) 3 - 4² + 1 = -12
b) 2³ - 2² - 2 = 2
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5
e) (-3)². (+5) + 2 = 47
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15
h) √49 + 2³ - 1 = 14

3) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)² + 5 = 14
b) (-8)² - (-9)² = -17
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2

4) Calcule o valor das expressões:

a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30
c) 8 + (-3 -1)² = 24
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16
e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 54

5) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12
c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6
h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4

6) Calcule o valor das expressões:

a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2
b) (+3 – 1)² - 15 = -11
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5

7) Calcule o valor das expressões:

a) 10 + (-3)² = 19
b) (-4)² - 3 = 13
c) 1 + (-2)³ = -7
d) -2 + (-5)² = 23
e) (-2)² + (-3)³ = -23
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 82
h) 5 + (-2)³ + 6 = 3

8) Calcule o valor das expressões:

a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16
http://jmpmat13.blogspot.com/

Peixes Ósseos (Classe Osteichthyes)

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
WWW.profantoniocarneiro.com


São os peixes que possuem um esqueleto formado por ossos. Possuem uma pele com muitas glândulas produtoras de muco, com escamas de origem mesodérmica, nadadeiras, boca na posição terminal e com dentes, bolsas olfativas dorsais, olhos grandes e sem pálpebras, muitas vértebras, coração com duas câmaras, respiração branquial ou pulmonar, excreção feita por rins mesonéfricos que excretam amônia, ectotérmicos e dióicos com fecundação externa.

Tegumento

Os peixes ósseos possuem uma epiderme lisa, coberta por escamas. Existem glândulas produtoras de muco, que lubrifica o corpo do peixe, que serve de proteção e facilita a locomoção na água. Possui uma linha lateral ao longo de cada lado do corpo e tem função sensorial. O sistema muscular é formado por miômeros (músculos segmentados), em forma de W.
Digestão

Possuem mandíbulas e maxilares com muitos dentes, pequenos e cônicos. Não há glândulas salivares. O alimento que é mastigado vai para a faringe, esôfago, estômago e intestino. O que não foi absorvido é eliminado pelo ânus.

Circulação

A circulação é fechada. O coração possui 2 câmaras. O sangue é pálido e escasso, possuindo hemácias ovais anucleadas.

Respiração

Existem espécies que respiram por brânquias e espécies que respiram por pulmões. As brânquias são protegidas por uma estrutura chamada opérculo. Durante a respiração o opérculo se fecha, fazendo com que entre água na boca. A água passa da boca para as brânquias e nelas ocorrem as trocas gasosas. O fluxo é sempre unidirecional. A direção do fluxo sanguíneo nas brânquias é oposto ao fluxo da água, criando um mecanismo contracorrente para aumentar a oxigenação do sangue.

Os peixes possuem uma bexiga natatória, localizada na região dorsal, ligada à faringe por um ducto pneumático em alguns peixes ela é cheia de gases (O2, N2, CO2) e serve para regular o peso do peixe, auxiliando na flutuação, através da absorção e sercreção destes gases. É semelhante a um pulmão nos peixes pulmonados.

Excreção

Os rins são do tipo mesonéfricos e principal excreta nitrogenada é a amônia.

Reprodução

São animais dióicos, com fecundação externa e desenvolvimento indireto.

Sistemática

São divididos em:

Sarcopterygii: peixes com nadadeiras carnosas, lobadas.
Actinopterygii: peixes com nadadeiras raiadas.

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Os répteis

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Os répteis



Os répteis (do latim reptare, 'rastejar') abrangem cerca de 7 mil espécies conhecidas. Eles surgiram há cerca de 300 milhões de anos, tendo provavelmente evoluído de certos anfíbios. Foram os primeiros vertebrados efetivamente adaptados à vida em lugares secos, embora alguns animais deste grupo, como as tartarugas, sejam aquáticos.

A Terra já abrigou formas gigantescas de répteis, como os dinossauros. Hoje esse grupo é representado por animais de porte relativamente menor, como os jacarés, tartarugas, cobras e lagartos.



A pele dos répteis

Os répteis têm o corpo recoberto por uma pele seca e praticamente impermeável. As células mais superficiais da epiderme são ricas em queratina, o que protege o animal contra a desidratação e representa uma adaptação à vida em ambientes terrestres. A pele pode apresentar escamas (cobras), placas (jacarés, crocodilos) ou carapaças (tartarugas, jabutis).



Os répteis possuem órgãos dos sentidos que lhes permitem, por exemplo, sentir o gosto e o cheiro das coisas. Os olhos possuem pálpebras e membrana nictitante, que auxiliam na proteção dessas estruturas. Eles têm glândulas lacrimais, fundamentais para manter a superfície dos olhos úmida fora da água.

Destacamos aqui uma estrutura existente entre os olhos e as narinas de cobras, chamada fosseta loreal (no detalhe). Ela possibilita que a cobra perceba a presença de outros animais vivos por meio do calor emitido pelo corpo deles.

Embora os répteis não tenham orelha externa, alguns deles apresentam conduto auditivo externo e curo, que fica abaixo de uma dobra da pele, de cada lado da cabeça. Na extremidade de cada conduto auditivo situa-se o tímpano, que se comunica com a orelha média e a interna. Vários experimentos comprovam que a maioria dos répteis é capaz de ouvir diversos sons.
Escamas de cobras.



Temperatura corporal

Os répteis, assim como os peixes e os anfíbios, são animais pecilotérmicos: a temperatura do corpo varia de acordo com a temperatura do ambiente.



Respiração e circulação de sangue

A respiração dos répteis é pulmonar; seus pulmões são mais desenvolvidos que os dos anfíbios, apresentando dobras internas que aumentam a sua capacidade respiratória.

Os pulmões fornecem aos répteis uma quantidade suficiente de gás oxigênio, o que torna "dispensável" a respiração por meio da pele, observada nos anfíbios. Aliás, com a grande quantidade de queratina que apresenta, a pele torna-se praticamente impermeável, o que impossibilita a aquisição de gás oxigênio.

O coração da maioria dos répteis apresenta dois átrios e dois ventrículos parcialmente divididos. Nos ventrículos ocorrem mistura de sangue oxigenado com sangue não-oxigenado. Nos répteis crocodilianos (crocodilo, jacarés), os dois ventrículos estão completamente separados, mas o sangue oxigenado e o sangue não-oxigenado continuam se misturando, agora fora do coração.



Alimentação e digestão

Em sua maioria, os répteis são animais carnívoros; algumas espécies são herbívoras e outras são onívoras. Eles possuem sistema digestório completo. O intestino grosso termina na cloaca.



Classificação

Vamos conhecer as principais ordens em que se divide a classe dos répteis.



Quelônios

São as tartarugas, os jabutis e os cágados. Têm o corpo recoberto por duas carapaças: a carapaça dorsal, na parte superior do corpo, e o plastrão, na parte inferior. Essas duas carapaças são soldadas uma à outra. Há aberturas apenas para a saída do pescoço, dos membros anteriores e posteriores e da cauda.

As tartarugas são aquáticas e podem viver em água doce ou salgada; suas pernas têm a forma de nadadeiras, o que facilita a locomoção na água. Os jabutis são terrestres e seus dedos são grossos. Os cágados vivem em água doce e seus dedos são ligados por uma membrana que auxilia na natação.

Esses animais não têm dentes. A boca apresenta um bico córneo.


Crocodilianos

Crocodilo


São os crocodilos e os jacarés. Grandes répteis aquáticos, os crocodilianos têm corpo alongado e recoberto por placas córneas. Possuem quatro membros, que são usados para a locomoção terrestre e aquática.

O jacaré tem a cabeça mais larga e arredondada do que a dos crocodilianos, e, quando fecha a boca, seus dentes não aparecem. Já o crocodilo tem a cabeça mais estreita e, mesmo com a boca fechada, alguns dentes são visíveis.

Jacarés e crocodilos habitam regiões tropicais, geralmente às margens dos rios.

No Brasil só existem jacarés. Eles são encontrados na Amazônia e no Pantanal Mato-Grossense.





Escamados

São os lagartos e as serpentes (estas mais comumente chamadas de cobras). Esses animais têm a pele recoberta por escamas e dividem-se em dois grupos menores: lacertílios e ofídeos.


Lacertílios - Compreendem os lagartos, os camaleões e as lagartixas, répteis de corpo alongado, com a cabeça curta e unida ao corpo por um pequeno pescoço. Possuem quatro membros, sendo os anteriores mais curtos que os posteriores.

Ofídeos - Compreendem as serpentes ou cobras, répteis que não têm pernas. A grande maioria desses animais possuem glândulas que fabricam veneno. Uma serpente é peçonhenta quando seus dentes são capazes de inocular veneno nos animais que ataca. Os dentes têm um canal ou sulco que se comunica com as glândulas produtoras de veneno. No momento da picada, o veneno escoa por esse canal e é inoculado no corpo da presa.




Reprodução

O sistema reprodutor dos répteis foi um importante fator de adaptação desses animais ao ambiente terrestre. Os répteis fazem a fecundação interna: o macho introduz os espermatozóides no corpo da fêmea.

A maioria é ovípara, ou seja, a fêmea põe ovos, de onde saem os filhotes. Esses ovos têm casca rígida e consistente como couro. Os ovos se desenvolvem em ambiente de baixa umidade.

A fecundação interna e os ovos com casca representam um marco na evolução dos vertebrados, pois impediram a morte dos gametas e embriões por desidratação. Assim, em ralação a reprodução, os répteis tornaram-se independentes da água. A tartaruga marinha e muitos outros répteis aquáticos depositam os seus ovos em ambiente terrestre. Eles ficam cobertos de areia e aquecidos pelo calor do Sol.



O ovo é rico em vitelo - substância que nutre o embrião - e é capaz de reter a umidade. Na casca há poros, pequenos orifícios que permitem a entrada de oxigênio do ar e a saída de gás carbônico, ou seja, a troca de gases. Isso ajuda a manter o embrião vivo.

A maioria dos répteis não precisa cuidar dos seus ovos e filhotes. Os filhotes quando "prontos" saem da casca usando seus próprios recursos. Porém, tanto o jacaré, quanto o crocodilo têm muito cuidado com os ovos e os filhotes. A fêmea põe os ovos no ninho e fica por perto até o nascimento dos filhotes, que são carregados na boca até a água, onde ficam com a mãe. Alguns chegam a permanecer com a mãe por mais de três anos.



Existem também os répteis em cujos ovos, já na ocasião da postura, há filhotes formados. Os ovos ficam retidos com o embrião em um canal no corpo da fêmea, enquanto se desenvolvem, como ocorre em algumas cobras. Quando os ovos saem do corpo da fêmea, os filhotes dentro deles já se encontram formados. A casca desses ovos é bem fina, como uma membrana, permitindo a saída dos filhotes logo após a postura. Esses animais são classificados como ovovivíparos. Há ainda alguns répteis vivíparos, que produzem filhotes já "prontos", sem terem se desenvolvido em ovos, como certas espécies de lagartos.

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Equação Biquadrada

Equações biquadradas é uma equação escrita da seguinte forma geral: ax4 + bx2 + c = 0. Para resolver (encontrarmos as sua raízes) é preciso transformá-las em uma equação do segundo grau.

Para melhor compreensão veja no exemplo abaixo como essa transformação acontece e como chegamos às raízes da equação biquadrada.

y4 – 10y2 + 9 = 0 → equação biquadrada

(y2)2 – 10y2 + 9 = 0 → também pode ser escrita assim.

Substituindo variáveis: y2 = x, isso significa que onde for y2 iremos colocar x.

x2 – 10x + 9 = 0 → agora resolvemos essa equação do 2º grau encontrando x` e x``

a = 1 b = -10 c = 9

∆ = b2 – 4ac
∆ = (-10)2 – 4 . 1 . 9
∆ = 100 – 36
∆ = 64

x = - b ± √∆
2a

x = -(-10) ± √64
2 . 1

x = 10 ± 8
2

x’ = 9

x” = 1

Essas são as raízes da equação x2 – 10x + 9 = 0, para encontrarmos as raízes da equação biquadrada y4 – 10y2 + 9 = 0 devemos substituir os valores de x’ e x” em y2 = x.

Para x = 9
y2 = x
y2 = 9
y = √9
y = ± 3

Para x = 1
y2 = x
y2 = 1
y = √1
y = ±1

Portanto, a solução da equação biquadrada será:

S = {-3, -1, 1, 3}.

Conjunções

Conjunção é a palavra invariável que liga duas orações uns com os outros, ou que, na mesma oração, liga Dois termos entre si independentes.

|. Conjunções coordenativas:

Conjunções coordenativas São as que ligam duas orações ou Dois termos (na mesma oração), sendo que ambos os elementos ligados permanecem independentes entre si. Exs .:
[Maria estuda] e [Pedro Trabalho].

As conjunções coordenativas subdividem-se em:

1. aditivo que ligam pensamentos similares ou equivalentes: e, Nem, (Não só) ... mas tambem, (Não somente) ... Sena ainda, etc. Exs .:
"O médico Não veio Nem me telefonou."

2. adversativa que ligam pensamentos que contrastam entre si: mas, porêm, todavia, contudo, entretanto, nao obstante, etc. Exs .:
"Serve para opulentos com altivez, mas aos indigentes com carinho."

3. Alternativas que ligam pensamentos que se excluem ou se alternam: ou, ou ... ou, ora ... ora, ja ... ja, quer ... quer, etc. Exs .:
"Já atravessa as florestas, ja chega aos campos do Ipu."

4. conclusiva, que ligam duas orações, sendo que a Segunda encerra a conclusão ou dedução de UM raciocínio: portanto, portanto, portanto, por consequencia, pois (após o verbo da oração), etc. Exs .:
Pedro aprendeu as lições, portanto pode efectuar os exames.

5. explicativo, que ligam duas orações sendo que o segundo se apresenta justificando a anterior: pois, porque, que, porquanto, etc. Exs .:
Essa desculpa Não serve, porque, afinal de contas, seus Negócios vao bem.


||. Conjunções SUBORDINATIVAS

Conjunções subordinativas São as que ligam duas orações, sendo que a segunda é sujeito, complemento ou adjunto do primeiro. A primeira é oração principal da Segunda, e esta é subordinada à primeira.
As conjunções subordinativas subdividem-se em membros e adverbiais.

A. conjunções SUBORDINATIVAS INTEGRANTES

São as que ligam duas orações, sendo que a segunda é sujeito ou complemento da primeira: que, se. Exs .:
"O Brasil espera que cada UM cumpra com o seu Dever."

B. conjunções SUBORDINATIVAS adverbiais

São as que ligam duas orações, sendo que a segunda é adjunto adverbial do primeiro, ou sejas, a segunda Expresso circunstância de finalidade, forma, comparação, proporção, tempo, condição, concessão, causa ou consequência.
As conjunções subordinativas adverbiais subdividem-se em:

1. Finais, que ligam duas orações, sendo que a segunda Expresso circunstância de finalidade: para que, a fim de que, se, porque. Exs .:
É necessario que lutemos, a fim de que Posse sucesso.

2. Conformativas que ligam duas orações, sendo que a segunda Expresso circunstância de termos ou modo: como, de acordo, conforme, etc. Exs .:
Tudo foi feito, conforme havíamos previsto o astrólogo.

3. Comparativas, que ligam duas orações, sendo que a segunda conte-me o segundo termo de comparação UMA: como, (tal) ... tal, (menos) ... do que, (mas) ... do que, ( tal) ... Qual, etc. Ex .:
"Os sonhos, Um por um, céleres voam, como voam as pombas dos pombais."

4. proporcionais, que ligam duas orações, sendo que a segunda Expresso fato que decorre ao mesmo tempo que outro: à medida que, à proporção que, (quanto mais) ... tanto mais, (tanto menos) ... quanto mais , etc. Ex .:
À proporção que remávamos, eu lhe ia contando a história.

5. Temporárias, que ligam duas orações, sendo que a segunda Expresso circunstâncias de tempo: Quand, enquanto, apenas, mau, depois que, depois que, antes, até que, que, etc. Exs .:
Quand a vejo, bate-me o Coração mais forte.

6. condicionais, que ligam duas orações, sendo que a segunda Expresso UMA hipótese ou condição: se, caso, a menos que, desde que, a menos que, sem que, contanto que, etc. Exs .:
Se o pai consentisse, Manuel continuaria namorando a Elizabeth.

7. Concessivas, que ligam duas orações, sendo que a segunda conte-me UM fato que nao impede a realização da ideia Expresso na oração principal, embora sejas contrário aquela ideia: embora, ainda que, mesmo que, conquanto, já que, se bem que , por mais que, por não ser que, claro que, etc. Exs .:
Não consigo ouvir a voz do astronauta, por mais que me esforce.

8. causais, que ligam duas orações, sendo que a segunda conte-me a causa ea primeira, o efeito: porque, visto que, porquanto, ja que, como, etc. Exs .:
Como Não estudou, foi reprovado.

9. Consecutivas, que ligam duas orações, sendo que o segundo diz a consequencia de umha intensidade Expresso na primeira: (TAO) ... que, (tal) ... que, (Tamanho) ... que, (tanto) ... que, etc. Exs .:
"Tao temerosa vinha e Carregado, que busca nos corações UM grande medo."

Autoria: Lírio B. Murça

Ortografia

Ao escreve UMA Palavra com som de s, de z, de x ou de j, DEVE-se procurar a Origem dela, pois, na Língua Portuguesa, a palavra primitiva, em muitos casos, indica como deverá escreve a palavra derivada.
Ç

1. escreve com -ção as palavras derivadas de vocábulos terminados em -to, -tor, Teve e os substantivos formados Pela posposição do -ção ao tema de Um verbo (Tema é o que sobra, Quand se retira a desinência de infinitivo - R - do verbo).

Portanto DEVE-se procurar a Origem da Palavra terminada em -ção. Por exemplo: Onde provém a palavra conjunção? Resposta: provém de conjunto. Por Issos, escrevemo-la com ç.

Exemplos:

* Erudito = erudição
* Exceto = exceção
* Setor = SEÇÃO
* Intuitivo = intuição
* Redator = redação
* Ereto = ereção
* Educar - r + ção = Educação
* Exportar - r + ção = Exportação
* Repartir - r + ção = repartição

2. escreve com -tenção os substantivos correspondentes aos verbos derivados do verbo ter.

Exemplos:

* Manter = Manutenção
* Reter = retenção
* Parar = detenção
* Conter = contenção

3. escreve com ara os verbos derivados de substantivos terminados em -ce.

Exemplos:

* Alcance = alcançar
* Lance = Láncara

S

1. escreve com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -nder e -ndir

Exemplos:

* Pretender = pretensão
* Defender = defesa, defensivo
* Despender = despesas
* Compreender = compreensão
* Fundir = Fusão
* Expandir = expansão

2. escreve com -s- as palavras derivadas de verbos terminados em -erter, -ertir e -ergir.

Exemplos:

* Perverter = perversão
* Converter = conversão
* Reverter = reversão
* Divertir = diversão
* Aspergir = aspersão
* Imergir = imersão

3. escreve -puls- nas palavras derivadas de verbos terminados em -pelir e -curs-, nas palavras derivadas de verbos terminados em -correr.

Exemplos:

* Expelir = expulsão
* Impelir = impulso
* Compelir = compulsório
* Concorrer = concurso
* Discorrer = discurso
* Percorrer = percurso

4. escreve com -s- todas as palavras terminadas em -oso e -osa, com exceção de alegria.

Exemplos:

* Gostosa
* Glamorosa
* Saboroso
* Horroroso

5. escreve com -s- todas as palavras terminadas em -ase, -esse, -ise e -ose, com exceção de gaze e deslize.

Exemplos:

* Fase
* Crase
* Tese
* Osmose

6. escreve com -s- as palavras femininas terminadas em -isa.

Exemplos:

* Poetisa
* Profetisa
* Heloísa
* Marisa

7. escreve com -s- toda a conjugação dos verbos por, querer e usar.

Exemplos:

* Eu pus
* Ele quis
* Nós usamos
* Eles quiseram
* Quand nós quisermos
* Se eles usassem

C ou S?

Após ditongo, escreve com -ç-, Quand houver som de s, e escreve com -s-, Quand houver som de z.

Exemplos:

* Eleição
* Traição
* Neusa
* Coisa

S ou Z?

1.-a) escreve com -s- as palavras terminadas em És e essa que indicarem nacionalidades, títulos ou nomes próprios.

Exemplos:

* Português
* Norueguesa
* Marquês
* Duquesa
* Inês
* Teresa

1.-B) escreve com -z- as palavras terminadas em -ez e -eza, substantivos abstratos que provêm de adjetivos, ou sejas, palavras que indicam a existência de umha Qualidade.

Exemplos:

* Embriaguez
* Limpeza
* Lucidez
* Nobreza
* Acidez
* Pobreza

2.-a) escreve com -s- os verbos terminados em -isar, Quand a palavra primitiva Já possuir o -s-.

Exemplos:

* Análise = analisar
* Busca = pesquisar
* Paralisia = paralisar

2.-B) escreve com -z- os verbos terminados em -izar, Quand a palavra primitiva Não possuir -s-.

Exemplos:

* Economia = economizar
* Terror = aterrorizar
* Frágil = fragilizar

Cuidado:

* Catequese = catequizar
* Síntese = sintetizar
* Hipnose = hipnotizar
* Batismo = batizar

3.-a) escreve com -s- os diminutivos terminados em -sinho e -sito, Quand a palavra primitiva Já possuir o -s- no final do radical.

Exemplos:

* Casinha
* Asinha
* Portuguesinho
* Camponesinha
* Teresinha
* Inesita

3.-B) escreve com -z- os diminutivos terminados em -zinho e -zito, Quand a palavra primitiva Não possuir -s- no final do radical.

Exemplos:

* Mulherzinha
* Arvorezinha
* Alemãozinho
* Aviãozinho
* Pincelzinho
* Corzinha

SS

1. escreve com -cess- as palavras derivadas de verbos terminados em -ceder.

Exemplos:

* Anteceder = antecessor
* Ultrapassar = excesso
* Conceder = concessão

2. escreve com -press- as palavras derivadas de verbos terminados em -primir.

Exemplos:

* Imprimir = impressão
* Comprimir = compressa
* Deprimir = depressivo

3. escreve com -gress- as palavras derivadas de verbos terminados em -gredir.

Exemplos:

* Agredir = agressão
* Progredir = progresso
* Transgredir = transgressor

4. escreve com -miss- ou -mess- as palavras derivadas de verbos terminados em -meter.

Exemplos:

* Comprometer = compromisso
* Intrometer = intromissão
* Prometer = promessa
* Remeter = remessa

CS ou SS
Em relaçao ao verbos terminados em -tir, teremos:

1. escreve com -ção, ​​se apenas retirarmos a desinência de infinitivo -r, dos verbos terminados em -tir.

Exemplo:

* Curtir - r + ção = curtição

2. escreve com -são, Quand, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for consoante.

Exemplo:

* Divertir - tir + São = diversão

3. escreve com -ssão, Quand, ao retirarmos toda a terminação -tir, a última letra for vogal.

Exemplo:

* Discutir - tir & ssão = discussão

J

1. escreve com -j- as palavras derivadas dos verbos terminados em -jar.

Exemplos:

* Trajar = traje, eu trajei.
* Encorajar = que eles encorajem
* Viajar = que eles viajem

3. escreve com -j- as palavras derivadas de vocábulos terminados em -ja.

Exemplos:

* Loja = lojista
* Gorja = gorjeta
* Canja = canjica

4. escreve com -j- as palavras de Origem tupi, africana ou popular.

Exemplos:

* Jeca
* Jibóia
* Jiló
* Pajé

G

1. escreve com -g- todas as palavras terminadas em -ágio, -égio, -ígio, -ógio, -úgio.

Exemplos:

* Pedágio
* Colégio
* Sacrilégio
* Prestígio
* Relogio
* Refugio

2. escreve com -g- todas as palavras terminadas em -gem, com exceção de pajem, lambujem ea conjugação dos verbos terminados em -jar.

Exemplos:

* A Viagem
* A coragem
* A personagem
* A vernissagem
* A ferrugem
* A penugem

X

1. escreve com -x- as palavras iniciadas por mex-, com exceção de mecha.

Exemplos:

* Mexilhão
* Mexer
* Mexerico
* México
* Mexerico
* Mexido

2. escreve com -x- as palavras iniciadas por enx-, com exceção das derivadas de vocábulos iniciados por ch- e da Palavra Enchovas.

Exemplos:

* Enxada
* Enxerto
* Enxerido
* Enxurrada

mas:

* Cheias = encher, enchente
* Poça = encharcar
* Chiqueiro = enchiqueirar

3. escreve -x- após ditongo, com exceção de recauchutar e guache.

Exemplos:

* Ameixa
* Deixar
* Queixa
* Feixe
* Peixe
* Gueixa

UIR e Oer

Os verbos terminados em -uir e -oer terá as 2ª e 3ª Pessoas do singular do presente do indicativo escritas com -i-.

Exemplos:

* Sua possue
* Ele possuia
* Tu constróis
* Ele constroi
* Sua Moisés
* Ele mói
* Sua Rois
* Ele rói

UAR e OAR

Os verbos terminados em -uar e -oar terá todas as Pessoas do presente do subjuntivo escritas com -e-.

Exemplos:

* O que eu efetue
* Que tu efetues
* O que ele atenua
* O que nós atenua
* O que você entoeis
* O que eles entoem
www.algosobre.com.br

Equação geral dos gases

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Equação geral dos gases

Domiciano Correa Marques da Silva




Equação geral dos gases
Podemos falar que, ao longo da história, o trabalho realizado por vários cientistas investigadores foi de suma importância na formulação da lei dos gases ideais.

Nos experimentos realizados por Robert Boyle, pôde-se verificar que havia uma relação de proporção entre volume e pressão de um gás, quando a temperatura era mantida constante. Essa transformação recebeu o nome de transformação isotérmica.

Uma transformação é dita isotérmica quando a temperatura permanece constante. Nesse caso, a pressão varia de forma inversamente proporcional ao volume ocupado pelo gás.

A expressão que representa uma transformação isotérmica é conhecida como lei de Boyle-Mariotte e é representada pela seguinte equação:

p1V1 = p2V2

Onde: p1 é a pressão inicial, p2 é a pressão final, V1 volume inicial e V2 volume final.

Já o cientista Jaques Charles verificou a relação de proporção entre o volume e a temperatura de um gás quando a pressão era mantida constante.

Uma transformação é dita isobárica quando a pressão permanece constante. Nesse caso, o volume varia de forma diretamente proporcional à temperatura. A expressão para representar a transformação isobárica ficou conhecida como lei de Charles, e é representada pela equação:

V1 = V2
T1 T2


Onde: V1 volume inicial, V2 volume final, T1 temperatura inicial e T2 temperatura final.

O cientista Charles investigou também a relação existente entre a pressão e a temperatura quando o volume era mantido constante. Essa transformação é denominada isométrica, isocórica ou isovolumétrica.

Então, uma transformação é dita isovolumétrica quando o volume permanece constante, e a pressão varia proporcionalmente à temperatura. A equação que representa a lei de Charles para transformação isovolumétrica é:

p1 = p2
T1 T2


Onde: p1 é a pressão inicial, p2 é a pressão final, T1 temperatura inicial e T2 temperatura final.

Para uma transformação em que variam a pressão, o volume e a temperatura, ao mesmo tempo, temos a seguinte equação:

p1.V1 = p2.V2
T1 T2

Equações logarítmicas

Existem quatro tipos básicos de equações logarítmicas. Iremos resolver um exemplo de cada tipo.

Tipo 1. Equação que envolve a igualdade entre dois logaritmos de mesma base.

A solução é dada fazendo x = y > 0
Exemplo: Resolva a equação


Solução: temos que
2x + 4 = 3x + 1
2x – 3x = 1 – 4
– x = – 3
x = 3
Portanto, S = { 3 }

Tipo 2. Equação que envolve a igualdade entre um logaritmo e um número.

A solução é dada por x = ac.

Exemplo: Encontre a solução da equação

Solução: Pela definição de logaritmo temos:

5x + 2 = 33
5x + 2 = 27
5x = 27 – 2
5x = 25
x = 5

Portanto S = {5}.

Tipo 3. Equação que é necessário fazer uma mudança de incógnita.
Exemplo: Resolva a equação

Solução: Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita

Substituindo na equação inicial, ficaremos com:

Tipo 4. Equações que utilizam as propriedades do logaritmo ou de mudança de base.

Exemplo: Resolva a equação


Solução: usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades:

Vamos retornar à equação:

Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que:
(2x +3)(x + 2) = x2
ou
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0
x2 + 7x + 6 = 0


x = -1 ou x = - 6

Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos.
Com os valores encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução ou S = ø.
Por Marcelo Rigonatto

Plano Cartesiano

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Plano Cartesiano

Marcos Noé


Plano xy
O plano cartesiano também é denominado de eixo de coordenadas cartesianas, em homenagem a René Descartes, filósofo e matemático. O plano cartesiano é formado pela intersecção perpendicular entre duas retas enumeradas. O ponto de encontro entre as duas retas forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas (0,0).

A intenção de criar o eixo de coordenadas teve como objetivo principal, a localização de pontos no espaço.
Os eixos são nomeados da seguinte maneira: a reta horizontal é chamada de abscissa(x) e a reta vertical é denominada ordenada (y), portanto, todo ponto localizado no sistema possui abscissa e ordenada obedecendo à seguinte condição de apresentação (x; y).
Veja como localizar pontos no plano cartesiano:

1º passo
Localizar o valor correspondente na abscissa (horizontal) traçando uma reta auxiliar, paralela ao eixo vertical.

2º passo
Localizar o valor correspondente na ordenada (vertical) traçando uma reta auxiliar, paralela ao eixo horizontal.

3º passo
A intersecção das retas auxiliares é a coordenada de localização do ponto.


No plano cartesiano a seguir, os pontos A e B possuem as seguintes coordenadas:

A(3; 2) → abscissa 3 e ordenada 2
B( –6; –2) → abscissa –6 e ordenada –2

Estudo dos sinais da Função de 2º grau



Logaritmos

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Os logaritmos foram criados no intuito de facilitar os cálculos envolvendo números muito grandes ou muito pequenos. Os logaritmos reduzem esses números a algumas bases, a mais utilizada é a base decimal. As propriedades operatórias dos logaritmos possuem o objetivo de transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões. Essas transformações facilitam os cálculos mais extensos.

Logaritmo de um produto

Considerando a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

loga(b*c) = logab + logac

Exemplo 1

Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, determine o log12.

log12 → log12 = log(2 * 2 * 3) → log12 = log2 + log2 + log3 → log12 = 0,301 + 0,301 + 0,477 → log 12 = 1,079

Exemplo 2

Determine o valor de log2(8*32).

log2(8*32) = log28 + log232 = 3 + 5 = 8


Logaritmo de um quociente

Considerando a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

loga(b/c) = logab – logac

Exemplo 3

Sabendo que log30 = 1,477 e log5 = 0,699, determine log6.

log6 = (30/5) = log30 – log5 = 1,477 – 0,699 = 0,778

Exemplo 4

log3(6561/81) = log36561 – log381 = 8 – 4 = 5


Logaritmo de uma potência

Considerando a e b números reais positivos, com a ≠ 1, e m um número real, temos a seguinte propriedade:

logabm = m * logab

Exemplo 5

Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule o valor de log 64.

log 64 = log 26 = 6 * log 2 = 6 * 0,3010 = 1,806


Exemplo 6

Dado log 2x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x.

log 2x = 2,4 → x*log 2 = 2,4 → x * 0,3 = 2,4 → x = 2,4/0,3 → x = 8


Mudança de base

Para passarmos logab, com a e b positivos e a ≠ 1, para a base c, com c > 0 e c ≠ 1, utilizamos a seguinte expressão:

logab = logcb/ logca, com logca ≠ 0


Exemplo 7

Passando log49 para a base 2.

log49 = log29 / log24 = log29 / 2


Exemplo 8

Sabendo que log 4 = 0,60 e log 5 = 0,70, calcule log54.

log54 = log4 / log5 = 0,60 / 0,70 → log54 = 0,86


Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação:

logab = x, onde:

a = base do logaritmo
b = logaritmando
x = logaritmo

O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma:

logab = x ↔ ax = b

Exemplos:

log39 ↔ 32 = 9
log10100 ↔ 102 = 100
log216 ↔ 24 = 16
log981 ↔ 92 = 81

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0.

loga1 = 0, pois a0 = 1

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1.

logaa = 1, pois a1 = a

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.

logaam = m, pois m * logaa = m * 1 = m

A potência de base a e expoente logab é igual a b.

alogab = b, pois logab = x → ax = b

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais.

logab = logac ↔ b = c



Exemplos

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso:

a) log327 = x → 3x = 27 → x = 3

b) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33 → x = 27

c) log4√2 = x → 4x = √2 → 22x = √2 → 22x = 21/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4

d) logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2

e) log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2

f) log1818 = x → 18x = 18 → x = 1

g) logx1024 = 2 → x2 = 1024 → √x² = √1024 → x = 32

h) log40,25 = x → 4x = 0,25 → 4x = 25/100 → 4x = 1/4 → 4x = 4–1 → x = –1

i) 16log25 = (24)log25 = (2log25)4 = 54 = 625

j) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 → x = –2
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca de resultados para as variadas situações em questão.

Exemplo 1 – Matemática Financeira

Uma pessoa aplicou a importância de R$ 500,00 numa instituição bancária que paga juros mensais de 3,5%, no regime de juros compostos. Quanto tempo após a aplicação o montante será de R$ 3 500,00?

Resolução:
Nos casos envolvendo a determinação do tempo e juros compostos, a utilização das técnicas de logaritmos é imprescindível.

Fórmula para o cálculo dos juros compostos: M = C * (1 + i)t. De acordo com a situação problema, temos:

M (montante) = 3500
C (capital) = 500
i (taxa) = 3,5% = 0,035
t = ?

M = C * (1 + i)t
3500 = 500 * (1 + 0,035)t
3500/500 = 1,035t
1,035t = 7

Aplicando logaritmo

log 1,035t = log 7
t * log 1,035 = log 7 (utilize tecla log da calculadora científica )
t * 0,0149 = 0,8451
t = 0,8451 / 0,0149
t = 56,7

O montante de R$ 3 500,00 será originado após 56 meses de aplicação.


Exemplo 2 – Geografia

Em uma determinada cidade, a taxa de crescimento populacional é de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população desta cidade irá dobrar, se a taxa de crescimento continuar a mesma?

População do ano-base = P0
População após um ano = P0 * (1,03) = P1
População após dois anos = P0 * (1,03)2= P2

População após x anos = P0 * (1,03)x = Px

Vamos supor que a população dobrará em relação ao ano-base após x anos, sendo assim, temos:

Px = 2*P0
P0 * (1,03)x = 2 * P0
1,03x = 2

Aplicando logaritmo

log 1,03x = log 2
x * log 1,03 = log2
x * 0,0128 = 0,3010
x = 0,3010 / 0,0128
x = 23,5

A população dobrará em aproximadamente 23,5 anos.


Exemplo 3 – Química

Determine o tempo que leva para que 1000 g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 2% ao ano, se reduza a 200 g. Utilize a seguinte expressão:
Q = Q0 * e–rt, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Q = Q0 * e–rt
200 = 1000 * e–0,02t
200/1000 = e–0,02t
1/5 = e–0,02t (aplicando definição)
–0,02t = loge1/5
–0,02t = loge5–1
–0,02t = –loge5
–0,02t = –ln5 x(–1)
0,02t = ln5
t = ln5 / 0,02
t = 1,6094 / 0,02
t = 80,47

A substância levará 80,47 anos para se reduzir a 200 g.
fonte www.mundoeducacao.com.br

Volume do cone

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        


Marcelo Rigonatto




Cones
O cone é um dos sólidos geométricos com bastante aplicação no cotidiano. Diversas embalagens, produtos e até reservatórios apresentam a forma de um cone circular reto. Em virtude da sua grande utilização, é necessário conhecer seus elementos e fórmulas para o cálculo de sua área e volume. Vejamos o que é necessário para obter o volume de um cone de revolução.

Considere um cone circular reto de altura h e raio r como mostra a figura.
Assim como na pirâmide, o volume do cone é dado em função da área de sua base e da altura h. Podemos pensar no cone como sendo uma pirâmide com uma das faces arredondadas. Logo, seu volume pode ser obtido fazendo:

Como a base do cone é uma circunferência de raio r, temos que:

Assim, a fórmula para o cálculo do volume do cone pode ser reescrita da seguinte forma:

Onde,

r → é a medida do raio da base
h → é a altura do cone
V → é o volume do cone

Observe que para obter o volume do cone não é necessário conhecer a medida da geratriz e a fórmula é semelhante à da pirâmide.

Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.

Exemplo 1. Calcule o volume de um cone circular reto de 13 cm de altura e raio da base medindo 6 cm. (Use π = 3,14)

Solução: Pelo enunciado do problema, temos que:
r = 6 cm
h = 13 cm
V = ?

Utilizando a fórmula do volume, obtemos:

Portanto, o cone apresenta um volume de 489,84 cm3.

Exemplo 2. Um reservatório de água possui a forma de um cone de revolução com 8 metros de profundidade. Sabendo que o diâmetro da base mede 4 metros, determine a capacidade, em litros, desse reservatório. (Use π = 3,14)

Solução:

Segundo o enunciado do problema, temos que:
h = 8 m (profundidade)
r = d/2 = 4/2 = 2 m

Determinar a capacidade é o mesmo que calcular o volume do reservatório. Assim, utilizando a fórmula do volume do cone, obtemos:

Como o problema deseja saber a capacidade do reservatório em litros, devemos lembrar da seguinte relação:

1 m3 = 1000 litros

Assim, a capacidade do reservatório será:

V = 33,49 ×1000 = 33490 litros

Progressão Geométrica

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
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Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Progressão Geométrica

Marcos Noé


Termo geral da P.G.
Dada uma sequência numérica onde a partir do 2º termo se dividirmos qualquer número pelo seu antecessor e o resultado for um número constante recebe o nome de progressão geométrica de razão q.
Veja alguns exemplos de sequências numéricas que são progressões geométricas:

(2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, 4374,...) razão q = 3, pois 6:2 = 3

(-5, 15, -45, 135, -405, 1215, ...) razão q = -3, pois 135:(-45) = -3

(3, 15, 75, 375, 1875, 9375,...) razão q = 5, pois 9375:1875 = 5

Uma P.G. pode ser classificada de acordo com a sua razão (q).

Alternada ou oscilante: quando q < 0.
Crescente: quando [a1 > 0 e q > 1] ou [a1 < 0 e 0 < q < 1].
Decrescente: quando [a1 > 0 e 0 < q < 1] ou [a1 < 0 e q >1]

Termo Geral de uma P.G.

Conhecendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) de uma progressão geométrica determinamos qualquer termo, basta utilizarmos a seguinte expressão matemática:
an = a1*qn – 1

Exemplos
a5 = a1 * q4
a12 = a1 * q11
a15 = a1 * q14
a32 = a1 * q31
a100 = a1 * q99

Exemplo 1

Determine o 9º termo da P.G. (2, 8, 32,...).

a1 = 2
q = 8:2 = 4

an = a1 * qn-1
a9 = a1 * q9-1
a9 = 2 * 48
a9 = 2 * 65536
a9 = 131072

Exemplo 2

Dada a P.G. (3, -9, 27, -81, 243, -729, ...), calcule o 14º termo.

a1 = 3
q = -9:3 = -3

an = a1 * qn-1
a14 = 3 * (-3)14-1
a14 = 3 * (-3)13
a14 = 3 *(-1.594.323)
a14 = 4.782.969


Exemplo 3

Calcule o 8º termo da P.G. (-2, -10, -50, -250, ...).

a1 = -2
q = (-10):(-2) = 5

an = a1 * qn-1
a8 = -2 * q8-1
a8 = -2 * 57
a8 = -2 * 78.125
a8 = 156.250


As progressões possuem diversas aplicações, um bom exemplo são as estações do ano que se repetem obedecendo a um determinado padrão. No Egito antigo os povos se baseavam em estudos sobre progressões no intuito de saberem os períodos de enchente do rio Nilo, para organizarem suas plantações.

Abertura da Parábola

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

Abertura da Parábola

Marcos Noé




Parábola
A função que possui a lei de formação f(x) = ax² + bx + c, é considerada do 2º grau e possui como gráfico representativo uma parábola. Ao construirmos o gráfico de uma função com essas características, temos que de acordo com a lei de formação a parábola assume concavidade voltada para cima quando o coeficiente a é maior que zero e concavidade voltada para baixo quando o coeficiente a é menor que zero.


Uma característica dependente do valor do coeficiente a, está ligado à abertura da parábola. À medida que o valor absoluto do coeficiente do termo x² aumenta de valor a abertura fecha e à medida que diminui a abertura se torna maior.
As parábolas a seguir representam as seguintes funções:

Concavidade voltada para cima
y = 9x²
y = 8x²
y = 4x²
y = 2x²
y = x²
y = 0,5x²




Concavidade voltada para baixo
y =- 9x²
y = -8x²
y = -4x²
y = -2x²
y = -x²
y = -0,5x²

EXPRESSÃO ARITMÉTICA.

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        

1. 38 + 20 - 16

2. 15 – 5 – 2 + 6 - 1
3. 42 – 20 – 10 + 3
4. 12 + 8 + 20 – 30 - 8
5. 40 – 8 x 2 – 6 x 3
6. 7 + 3 x 9 – 5 x 5
7. 5 . 3 + 16 : 4 - 19
8. 16 + 3 x 4 – 10 : 5
9. 15-5 - (2 + 6) - 1
10. 15 - (5 – 2 + 6) - 1
11. 5 + 6 . (2 + 5) - 10
12. 7 . (10 - 8) + (5 - 3)
13. 8 – 3 : (2 + 1) + 2 . 4
14. (6 x 8) : 24 + 5 – 2 . (3 - 2)
15. 3 + 2 . (18 : 6 + 4) - 10
16. 3 + [5 + 3 . 4 - (8 + 4)]
17. 2 + [(5 x 2) : 2 - (4 . 0 x 2)]
18. [25 - (4 . 2)] + [1 + 27]
19. 36 + 2 x [16 – 2 . (8 – 3 x 1)] – 9 . 5
20. {32 - [5 + (3 . 7 - 4)]} : 5 + 9 x 2 - (64 - 60) . 5
21. 33 + {2 . 7 - [6 + (10 – 2 x 4) + 1] + 16} – 49 + 1
22. {21 + [7 x (33 - 22) - 50] : (9 . 3)} : 11 + 8
23. 35 - {5 + [15 : (3 + 2) - (18 + 2) : 10] + 3 . (5 + 2) + 3}
24. 23 + 5 . 3 – 4²
25. 32 : 9 + 5 . 16 - 40
26. 32 x 5 - 62 + 23 + 14
27. 102 : 52 + 30 . 22 - 23
28. 6 + (2 x 5 - 32) . 2
29. 20 – 5 x (22 - 1) + 22 – 3 . (3 - 2)
30. (32 + 1) : 5 + (5 - 3)2 - (42 – 3 . 5)
31. (42 – 4 x 3) . 2 + 32 x 2 – 40 : 4
32. 92 : (52 + 2) + (3 + 1)2 : 23 - 100
33. 53 - (3 . 2 + 1)2 + (32 + 42) : 52 - 15
34. 80 - [25 – 3 . (22 - 1)]
35. [12 : 22 + 10 . (11 - 32) + 2] : (3 x 2 - 1)2
36. 122 - [42 + 3 . (102 - 82)] + (32 + 23 - 1) : 42
37. 10 + 2 . [33 + (52 – 3 . 8) + 4] - (62 : 9 + 2)
38. {5 + 2 . [15 - (24 : 8) + 3 . (23 - 7)] - 33}
39. {32 : [(9 – 16 : 2)]} : {15 : (22 + 1)}
40. (1)2 : {3 + 2 . [5 – 2 : 2] + 5 (3 - 12)}0
41. 30 : {23 . [52 – 23 . (4 - 3)2 - (3 . 5)]} : 5
42. (3 . 2)2 : 9 –2 . √4
43. 5² : 5 + 6 : (5 - 2) - √9
44. 10 : (32 - 4) – 5 . (√16 - 4)
45. 6 + √81 . 2 (9 : 9) - 23
46. 50 – 3 . (10 : 5 + 1)2 – (√25 - √16)2
47. [100 : 25 + 3 . (√9 + 22)]
48. 34 : [24 . 3 - (102 : √25 + 3 – 7 + 4)]
49. √49 - [43 – 3 . (1 + 50 : 5 . 70 + 10)]
50. 61 - [1 - (2 + 5. 32)0 + √64 : 22]
51. √81: [7 - (2 . 3) + (4 - 1) . 3 - 1]
52. √64 - {43 – 3 . [1 + 50 : (2 + 3) . 70 + 10]}

GABARITO.

1. 42
7.0
13. 15
19. 3
25. 5
31. 16
37. 68
43. 4
49. 6
2. 13
8. 26
14. 5
20. 0
26. 18
32. 4
38. 10
44. 2
50. 59
3. 15
9. 1
15. 7
21. 6
27. 0
33. 4
39. 3
45. 16
51. 1
4. 2
10. 5
16. 8
22.10
28. 8
34. 57
40. 1
46. 22
52. 7
5. 6
11. 37
17. 7
23. 5
29. 6
35. 1
41. -75/52
47. 25
53. 3
6. 9
12. 16
18. 45
24.7
30. 5
36. 21
42. 0
48. 81/28 ou 2 25/28
54. 15

DIVISIBILIDADE, NUMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br 
extraído do http://jmp25.blogspot.com

DIVISIBILIDADE, NUMEROS PRIMOS E COMPOSTOS

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE


Vamos estudar algumas regras que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número é divisivel por outro. Essas regras são chamadas critérios de divisibilidade.

a) Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é um número par.

Exemplos

a) 536 é divisível por 2 pois termina em 6.
b) 243 não é divisível por 2 pois termina em 3

EXERCICIOS

1) Quais desses números são divisíveis por 2 ?

a) 43
b) 58 (X)
c) 62 (X)
d) 93
e) 106 (X)f) 688 (X)g) 981
h) 1000 (X)i) 3214 (X)j) 6847
l) 14649
m) 211116 (X)n) 240377
o) 800001
p) 647731350 (X)

b) Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.

Exemplos
a) 267 é divisível por 3 porque a soma:
2 + 6 + 7 = 15 é divisível por 3.

b) 2538 é divisível por 3, porque a soma:
2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 3.

c) 1342 não é divisível por 3, porque a soma:
1 + 3 + 4 + 2 = 10 não é divisível por 3

EXERCICIOS

1) Quais desses números são divisíveis por 3?

a) 72 (X)
b) 83
c) 58
d) 96 (X)
e) 123 (X)f) 431
g) 583
h) 609 (X)i) 1111
j) 1375
l) 1272 (X)
m) 4932 (X)
n) 251463 (X)o) 1040511 (X)
p) 8000240
q) 7112610 (X)
c) Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando os dois ultimos algarismos forem zero ou formarem um número divisível por 4.

exemplos

a) 500 é divisível por 4 porque seus dois últimos algarismos são zero
b) 732 é divisível por 4 porque o número 32 é divisível por 4
c) 813 não é divisível por 4 porque 13 não é divisível por 4

EXERCICIOS

1) Quais desses números são divisiveis por 4?

a) 200 (X)
b) 323
c) 832 (X)
d) 918
e) 1020 (X)
f) 3725
g) 4636 (X)
h) 7812 (X)
i) 19012 (X)
j) 24714
l) 31433
m) 58347
n) 1520648 (X)o) 3408549
p) 5331122
q) 2000008 (X)

d) Divisibilidade po 5

Um número é divisível por 5 quando termina em 0 ou 5.

exemplos

a) 780 é divisível por 5 porque termina em 0.
b) 935 é divisível por 5 porque termina em 5.
c) 418 não é divisível por 5 porque não termina em 0 ou 5.

Exercícios

1) Quais desses números são divisíveis por 5?

a) 83
b) 45 (X)c) 678
d) 840 (X)e) 1720 (X)
f) 1089
g) 2643
h) 4735 (X)
i) 2643
j) 8310 (X)l) 7642
m) 12315 (X)
n) 471185 (X)
o) 648933
p) 400040 (X)
q) 3821665 (X)
e) Divisibilidade por 6

Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 por 3.

Exemplos

a) 312 é divisível por 6 poque é divisível por 2 e por 3.
b) 724 não é divisível por 6 pois é divisível por 2, mas não é por 3.

exercícios

1) Quais destes números são divisíveis por 6?

a) 126 (X)
b) 452
c) 831
d) 942 (X)
e) 1236 (X)
f) 3450 (X)
g) 2674
h) 7116 (X)
i) 10008 (X)
j) 12144 (X)
l) 12600 (X)
m) 51040 (X)
n) 521125
o) 110250 (X)
p) 469101
q) 4000002 (X)

f) Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9.

exemplo

a) 2538 é divisível por 9 porque a soma
2 + 5 + 3 + 8 = 18 é divisível por 9

b) 7562 não é divisível por 9 porque a soma
7 + 5 + 6 + 2 = 20 não é divisível por 9

exercícios

1) Quais desses números são divisíveis por 9?

a) 504 (X)
b) 720 (X)
c) 428
d) 818
e) 3169
f) 8856
g) 4444
h) 9108 (X)
i) 29133 (X)
j) 36199
l) 72618
m) 98793 (X)
n) 591218
o) 903402 (X)
p) 174150 (X)
q) 2000601 (X)

g) Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando termina em zero.

exemplos

a) 1870 é divisível por 10 porque termina em zero
b) 5384 não é divisível por 10 porque não termina em zero.

exercícios

1) Quais destes números são divisíveis por 10?

a) 482
b) 520 (X)
c) 655
d) 880 (X)
e) 1670 (X)
f) 1829
g) 3687
h) 8730 (X)
i) 41110 (X)
j) 29490 (X)
l) 34002
m) 78146
n) 643280 (X)
o) 128456
p) 890005
q) 492370 (X)

RESUMO

Um número é divisível por:

2 quando termina em 0,2,4,6 ou 8 isto é quando é par
3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3.
4 quando os dois últimos algarismos forem 0 ou formarem um número divisível por 4
5 quando termina em 0 ou 5
6 quando é divisível por 2 e por 3
9 Quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9
10 quando termina em 0

EXERCÍCIOS

1) Qual número é divisível por 4 e 9?
a) 1278
b) 5819
c) 5336
d) 2556 (X)

2) Qual o número é divisível por 2,3 e 5
a) 160
b) 180 (X)
c) 225
d) 230

3)



NÚMEROS PRIMOS

Os números que admitem apenas dois divisores (ele próprio e 1 ) são chamados de números primos.

exemplos

a) 2 é um número primo, pois D2 = { 1,2}
b) 3 é um número primo, pois D3 = { 1,3}
c) 5 é um número primo, pois D5 = { 1,5}
d) 7 é um número primo, pois D7 = { 1,7}
e) 11 é um número primo, pois D11 = { 1, 11}

O conjunto dos números primos é infinito

P = { 2,3,5,7,11,13,17,19,....}


NÚMEROS COMPOSTOS

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos

EXEMPLOS

a) 4 é um número composto, pois D4 = { 1,2,4}
b) 6 é um número composto, pois D6 = { 1,2,3,6}
c) 8 é um número composto, pois D8 = { 1,2,4,8}

EXERCICIO

1) Classifique cada número como "primo ou composto"

a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
f) 25
g) 26
h) 27
i) 28
j) 29


DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS

Um número composto pode ser indicado como um produto de fatores primos, ou melhor, um número pode ser fatorado

exemplo

140 I 2
070 I 2
035 I 5007 I 7001

procedimentos

Escrevemos o número à esquerda de uma barra vertical.
Dividimos o número (140) pelo menor número primo possível. Neste caso, é o 2 .
Voltamos a dividir o quociente, que é 70 , pelo menor número primo possível, sendo novamente 2
O processo é repitindo até que o quociente seja 1

outros exemplos

a) decompor em fatores primos o número 72

72 I 2
36 I 2
18 I 2
09 I 3
03 I 3
01


b) Decompor em fatores primos o número 525

525 I 3
175 I 5
035 I 5
007 I 7
001


EXERCICIOS

1) Decomponha em fatores primos os seguintes números

a) 28
b) 30
c) 32
d) 36
e) 40
f) 45
g) 60
h) 80
i) 120
j)125
l) 135
m) 250

2) Decomponha em fatores primos os seguintes números

a) 180
b) 220
c) 320
d) 308
e) 605
f) 616
g) 1008
h) 1210
i) 2058
j) 3125
l) 4225
m) 5040

3) Decomponha os números em fatores primos

a) 144
b) 315
c) 440
d) 312
e) 360
f) 500
g) 588
h) 680
i) 1458
j) 3150
l) 9240
m) 8450