cead20136

sexta-feira, 30 de setembro de 2016

Equação fundamental da reta

Com um ponto e um ângulo podemos indicar e construir uma reta. E se a reta formada não for vertical (reta vertical é perpendicular ao eixo Ox) com o ponto pertencente a ela mais o seu coeficiente angular (tangente do ângulo de inclinação) é possível determinar a equação fundamental da reta.

Considerando uma reta r, o ponto C(x0, y0) pertencente à reta, seu coeficiente angular m e outro ponto D(x,y) genérico diferente de C. Com dois pontos pertencentes a reta r, podemos calcular o seu coeficiente angular.



m = y – y0
        x – x0

m (x – x0) = y – y0

Portanto, a equação fundamental da reta será determinada pela seguinte equação:

y – y0 = m (x – x0)

Exemplo 1:

Encontre a equação fundamental da reta r que possui o ponto A (0,-3/2) e coeficiente angular igual a m = -2.

y – y0 = m (x – x0)
y – (-3/2) = - 2(x – 0)
y + 3/2 = -2x
2x – y – 3/2 = 0

Exemplo 2:

Obtenha uma equação para a reta representada abaixo:


Para determinarmos a equação fundamental da reta precisamos de um ponto e o valor do coeficiente angular. O ponto foi fornecido (5,2), o coeficiente angular é a tangente do ângulo α.



Iremos obter o valor de α com a diferença 180° - 135° = 45°, então α = 45º e a tg 45° = 1.
y – y0 = m (x – x0)
y – 2 = 1 (x – 5)
y – 2 = x – 5
-x + y + 3 = 0

  Dannielle de Miranda

Equação Reduzida da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:
Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b). O ponto genérico P possui as coordenadas (x, y). Vamos estabelecer a distância entre os pontos C e P utilizando a expressão matemática  , de acordo com as definições da Geometria Analítica.

De acordo com a ilustração gráfica, a distância entre os pontos C e P é considerado o raio da circunferência. Dessa forma, substituiremos D²C,P por R (raio), observe:
(x – a)² + (y – b)² = R²

Vamos determinar a equação reduzida da circunferência com centro C (2, –9) e raio 6.
(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y + 9)² = 6²
(x – 2)² + (y + 9)² = 36

(FEI–SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).
A distância entre o centro C e o ponto P corresponde à medida do raio.

(x – a)² + (y – b)² = R²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1²
(x – 2)² + (y – 1)² = 1
A equação da circunferência com centro C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1) possui como equação reduzida a expressão matemática (x – 2)² + (y – 1)² = 1. A equação geral surgirá do desenvolvimento da expressão reduzida (x – 2)² + (y – 1)² = 1, veja:
(x – 2)² + (y – 1)² = 1
x² – 4x + 4 + y² – 2y + 1 – 1 = 0
x² + y² – 4x – 2y + 4 = 0
  Marcos Noé

Platelmintos


Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

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► Platelmintos

Platelminto

Animais como as planárias, esquistossomos e os solitários pertecem ao filo platylminthes ou platelmintos. Possuem o corpo achatado dorsoventralmente, daí serem conhecidos como vermes achatados.

Sob a designação vermes incluem-se, além dos platerlmintos, dois outros filos de animais que não possuem esqueleto: asquelmintos e anelídeos. Os asquelmintos (lombriga) são os vermes cilíndricos. Os anelídeos (minhoca) têm o corpo constituido por anéis, daí serem conhecidos como vermes segmentares.

Os vermes apresentam considerável progresso em relação aos políferos e celenterados. Podemos constatar isso caracterizando os platelmintos: trata-se de animais de simetria bilateral, triblásticos, acelomados, com sistema nervoso centralizado, sistema digestivo incompleto e dispondo de sistema excretor e gônadas permanentes.

A planária é um verme de vida livre encontrado nas águas doces de rios, lagos e fontes. Nesses locais vive junto a parte inferior de plantas, troncos submersos e rochas.

O corpo é revestido pela epiderme. Esta é constituída por uma camada única de células cúbicas que repousam sobre uma menbrana basal. As células epidermicas são ciliadas, absorvendo-se maior desenvolvimento da célula na parte ventral do corpo.

Sob a menbrana basal, há 3 camadas de fibras musculosas. A mais externa e circular, a mediana diagonal, e a interna longitudinal. Há também fibras musculares dorsoventrais.

A planária possue sistema digestivo incompleto. É constituida por boca, faringe e intestino com 3 ramos. Não há ânus. É um animal carnívoro que se alimenta de pequenos animais vivos ou mortos. Sobrepõe-se ao alimento por sucção.

O alimento fundamental do sistema excretar é a célula flama ou solenócio. Trata-se de uma célula com a forma de um tubo, em cujo interior há uma cavidade. No interior da cavidade há um grupo de flagelos, cujo o movimento lembra a chama de uma vela (daí o nome célula-flama).

A planária possui sistema nervoso do tipo centralizado. Na região cefálica existem dois gânglios celibróides interligados, dos quais partem dois cardões nervosos longitudinais. Estes possuem conexão transversais e ramos periféricos.

Não existe sistema respiratório e circulatório. O oxigênio e o gas carbônico atravessam a parte do corpo por simples difusão.

A planária apresenta ao mesmo tempo genitais masculinos e femininos, sendo, portanto, monóica ou hermafrodita. As estruturas reprodutivas são as mais complexas encontradas em seu organismo ventral do corpo, há um átrio genital masculino e feminino. O átrio comunica-se com o meio externo através de poucos genitais. O genital feminino é constituido por dois ovários.

O filo platelminto é dividido em três classes: tuberlários, trematóides e astóides.

Turbelários : são todos vermes de vida livre, como representantes temos a planária, cujas as caracteristicas já foram estudadas.

Trematódeos: seu corpo é revestido por uma cutícula, estando ausentes a epiderme e cílios. A boca é anterior e o intestino bifurca-se em dois ramos.

Astóides: são vermes parasitas que vivem principalmente no intestino de vertebrados. O corpo é revestido por uma cutícula grossa e dividido em segmentos denominados proglotes. Não possuem boca nem aparelho digestivo.

A esquistossomose ou barriga-d'àgua é a doença causada pelo verme shistesoma manioni. Trata-se de um verme se sexo separado, cujos machos medem cerca de 12mm de comprimento por 0,44 mm de largura. No meio do corpo ele possui um canal denominado ginecóforo, onde se aloja a fêmea no momento da reprodução. A fêmea é pouco mais comprida que o macho, mas tem o corpo mais fino.

Para compreender como os esqustossomose é adquirida fa-se necessário o estudo de ciclo vital do esquistossomose. Tudo começa quando as larvas do verme, as cercárias, penetram no organismo humano através da pele. Essas larvas são encontradas principalmente em águas paradas, de modo que o principal meio de contaminação são as banhas em lagoas infestadas.

Os sinais e sintomas da esquistossomose têm relação com a locomoção dos vermes no organismo humano.

A profilacia da doença se faz pelo combate ao caramujo, que é o hospedeiro intermediários. São também medidas impotentes às relativas à educação sanitária, desinsentivando o uso de águas paradas como lugar para banho.

Há dois tipos de solitária, teônia solium e a teônia saginata, ambas são parasitas entestinais e causam a doença denominada teniose.

A toenia solium é um verme hermafrodita com 3 a 9 m de comprimento em sua fase adulta. Seu corpo tem 3 partes: cabeça ou escálex, colo ou pescoço e estrábilo ou corpo propriamente dito.
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Classificação das Cadeias Carbônicas

Classificação das Cadeias Carbônicas

Líria Alves




Cadeia carbônica mista
Os átomos de carbono possuem a capacidade de se agrupar formando estruturas, essa capacidade é a principal responsável pela existência de milhões de compostos orgânicos. Cadeia carbônica é o conjunto de átomos de carbono e de heteroátomos que compõem as moléculas orgânicas.

Uma cadeia de carbono pode possuir, além de átomos de carbono, átomos de outros elementos, são os chamados heteroátomos. Os diferentes elementos que fazem parte com maior freqüência das cadeias carbônicas são: O, N, S, P.

O Anel benzênico ou Aromático corresponde às estruturas que tem seis átomos de carbono e formam um hexágono regular com ligações simples e duplas alternadas. Veja a seguir os diferentes tipos de cadeias existentes, suas características e os exemplos específicos:

Cadeia Característica Exemplo
Aberta ou Acílica ou Alifática Apresenta extremos livres
Fechada ou Cíclica Não apresenta extremos livres e forma um ciclo
Normal (aberta) Apenas dois extremos livres
Ramificada (aberta) Mais de dois extremos livres
Saturada (aberta ou fechada) Somente ligação simples entre átomos de carbono
Insaturada ou não saturada (aberta ou fechada) Pelo menos uma ligação dupla ou tripla entre átomos de carbono
Heterogenia (aberta ou fechada) Apresenta heteroátomo (S, O, N, P entre átomos de carbono)
Homogenia Não apresenta heteroátomo
Aromática Possui anel benzênico ou aromático
Alicíclica (fechada) Não possui anel benzênico ou aromático
Mista Ciclo e extremo livre
Obs: O Anel benzênico ou Aromático; cada anel tem seis átomos de carbono que formam um hexágono regular com ligações simples e duplas alternadas.

EXPRESSÕES COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS



Lembre-se de que os sinais de associação são eliminados obedecendo à seguinte ordem:

1°) PARÊNTESES ( ) ;

2°) COLCHETES [ ] ;

3°) CHAVES { } .

Exemplos:

1°) exemplo

8 + ( +7 -1 ) - ( -3 + 1 - 5 ) =
8 + 7 - 1 + 3 - 1 + 5 =
23 - 2 = 21

2°) exemplo

10 + [ -3 + 1 - ( -2 + 6 ) ] =
10 + [ -3 + 1 + 2 - 6 ] =
10 - 3 + 1 + 2 - 6 =
13 - 9 =
= 4

3°) exemplo

-17 + { +5 - [ +2 - ( -6 +9 ) ]} =
-17 + { +5 - [ +2 + 6 - 9]} =
-17 + { +5 - 2 - 6 + 9 } =
-17 +5 - 2 - 6 + 9 =
-25 + 14 =
= - 11

EXERCICIOS

a) Calcule o valor das seguintes expressões :

1) 15 -(3-2) + ( 7 -4) = (R: 17)
2) 25 - ( 8 - 5 + 3) - ( 12 - 5 - 8) = (R: 20 )
3) ( 10 -2 ) - 3 + ( 8 + 7 - 5) = (R: 15)
4) ( 9 - 4 + 2 ) - 1 + ( 9 + 5 - 3) = (R: 17)
5) 18 - [ 2 + ( 7 - 3 - 8 ) - 10 ] = (R: 30 )
6) -4 + [ -3 + ( -5 + 9 - 2 )] = (R: -5)
7) -6 - [10 + (-8 -3 ) -1] = (R: -4)
8) -8 - [ -2 - (-12) + 3 ] = (R: -21)
9) 25 - { -2 + [ 6 + ( -4 -1 )]} = (R: 26)
10) 17 - { 5 - 3 + [ 8 - ( -1 - 3 ) + 5 ] } = (R: -2)
11) 3 - { -5 -[8 - 2 + ( -5 + 9 ) ] } = (R: 18)
12) -10 - { -2 + [ + 1 - ( - 3 - 5 ) + 3 ] } = (R: -20)
13) { 2 + [ 1 + ( -15 -15 ) - 2] } = (R: -29)
14) { 30 + [ 10 - 5 + ( -2 -3)] -18 -12} = (R: 0 )
15) 20 + { [ 7 + 5 + ( -9 + 7 ) + 3 ] } = (R: 33)
16) -4 - { 2 + [ - 3 - ( -1 + 7) ] + 2} = (R: 1)
17) 10 - { -2 + [ +1 + ( +7 - 3) - 2] + 6 } = (R: 3 )
18) -{ -2 - [ -3 - (-5) + 1 ]} - 18 = (R: -13)
19) -20 - { -4 -[-8 + ( +12 - 6 - 2 ) + 2 +3 ]} = (R: -15)
20) {[( -50 -10) + 11 + 19 ] + 20 } + 10 = (R: 0 )

EXPRESSÕES NUMÉRICAS


1) As operações de adição e de subtração são efetuadas na ordem em que aparecem

Exemplos

a)7-3+1-2=
=4+1-2=
=5-2=
=3

B)15-1-2+5=
=14-2+5=
=12+5=
=17

2) Existem expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem

1º) parênteses ( )
2º) colchetes [ ]
3º) Chaves { }

exemplos

a)74+{10-[5-(6-4)+1]}=
=74+{10-[5-2+1]}=
=74+{10-[3+1]}=
=74+{10-4}=
=74+6=
=80


EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões

a) 10-1+8-4= (R:13)
b) 12-8+9-3= (R:10)
c) 25-1-4-7= (R:13)
d) 45-18+3+1-2= (R:29)
e) 75-10-8+5-1= (R:61)
f) 10+5-6-3-3+1= (R:4)


2) Efetue as operações

a) 237+98 = (R:335)
b) 648+2334 = (R: 2982)
c) 4040+404 = (R: 4444)
d) 4620+1398+27 = (R: 6045)
e) 3712+8109+105+79 = (R:12005)
f) 256-84 = (R: 172 )
g) 2711-348 = (R: 2363)
h) 1768-999 = (R: 769)
i) 5043-2584 = (R: 2459)
j) 8742-6193 = (R: 2549)

3) Calcule o valor das expressões

a) 30-(5+3) = (R: 22)
b) 15+(8+2) = (R: 25)
c) 15-(10-1-3) = (R: 9)
d) 23-(2+8)-7 = (R: 6 )
e) (10+5)-(1+6) = (R: 8)
f) 7-(8-3)+1= (R: 3 )
4) Calcule o valor das expressões

a) 25-[10+(7-4)] = (R:12)
b) 32+[10-(9-4)+8] = (R:45)
c) 45-[12-4+(2+1)] = (R:34)
d) 70-{20-[10-(5-1)]} = (R:56)
e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = (R:37)
f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = (R:45)
g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = (R:52)
h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = (R:1)
i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = (R:42)
j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = (R:11)
l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = (R:)

5) Calcule o valor da expressões

a) 7-(1+3)= (R:3)b) 9-(5-1+2)= (R:3)
c) 10-(2+5)+4= (R:7)
d) (13-7)+8-1= (R:13)
e) 15-(3+2)-6= (R:4)
f) (10-4)-(9-8)+3= (R:8)g) 50-[37-(15-8)]= (R:20)
h) 28+[50-(24-2)-10]= (R:46)
i) 20+[13+(10-6)+4]= (R:41)
j) 52-{12+[15-(8-4)]}= (R:29)

6)Calcule o valor das expressões:

a) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = (R:39)
b) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = (R:18)c) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = (R: 41)d)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = (R:54)
e) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = (R:93)
f)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = ( R:36)
g) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } = (R:28)

7) Calcule o valor das expressões

a) 10 - 5 - 2 + 3 = (R: 6)
b) 10 - ( 5 + 2) + 3 = (R:6)
c) ( 10 - 5) - ( 2 + 3) = ( R: 0)
d) 10 - ( 5 - 2 + 3) = ( R: 4)
e) ( 17 + 9 ) - 8 - ( 11 + 4) = (R: 3)f) 86 + ( 31 - 16 + 60 ) - ( 200 - 70 - 50 ) = ( R: 81)
g) ( 79 + 21 - 84) + ( 63 - 41 + 17 ) - 26 = ( R: 29)
8) Calcule o valor das expressões:

a) 10 – 1 + 8 – 4
b) 12 – 8 + 9 – 3
c) 25 – 1 – 4 – 7
d) 30 – ( 5 + 3 )
e) 15 + ( 8 + 2 )
f) 25 – ( 10 – 1 – 3 )
g) 45 – 18 + 3 + 1 – 2
h) 75 – 10 – 8 + 5 – 1
i) 10 + 5 – 6 – 3 – 3 + 1
j) 23 – ( 2 + 8 ) – 7
k) ( 10 + 5 ) – ( 1 + 6 )
l) 7 – ( 8 – 3 ) + 1
m) 25 – [ 10 + ( 7 – 4 ) ]
n)32+ [ 10 – ( 9 – 4 ) + 8 ]
o) 45 – [ 12 – 4 + ( 2 + 1 )]
p) 70 – { 20 – [ 10 – ( 5 – 1 ) ]}
q) 28 + { 13 – [ 6 – ( 4 + 1 ) + 2 ] – 1 }
r) 53 – { 20 – [ 30 – ( 15 – 1 + 6 ) + 2 ]}
s) 62 – { 16 – [ 7 – ( 6 – 4 ) + 1 ]}
t) 20 – { 8 + [ 3 + ( 8 – 5 ) – 1 ] + 6}
u) 15 + { 25 – [ 2 – ( 8 – 6 )] + 2 }
v) 56 – [ 3 + ( 8 – 2 ) + ( 51 – 10 ) – ( 7 – 2 )]
w) { 42 + [ (45 – 19) – ( 18 – 3 ) + 1 ] – (28 – 15 ) ]}
x) 7 – ( 1 + 3 )
y) 9 – ( 5 – 1 + 2 )
z) 10 – ( 2 + 5 ) + 4



EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES



Nessas expressões, as operações se realizam obedecendo à seguinte ordem:

1º) multiplicações e divisões

2º) adições e subtrações

Se houver sinais de associação (parênteses, colchetes e chaves) devemos proceder da seguinte maneira:

1º) As contas dentro dos parênteses seguindo a ordem acima colocada

2º) As contas dentro dos colchetes seguindo a ordem acima colocada

3º) As contas dentro das chaves seguindo a ordem acima colocada


EXEMPLOS

1º) 15+[(3x6-2)-(10-6:2)+1]=
= 15+[(18-2)-(10-3)+1]=
=15+[16-7+1]=
=15+[9+1]=
=15+10=
=25

2º) 50-{40-3x[5-(10-7)]}=
= 50-{40-3x[5-3]}=
= 50-{40-3x2}=
= 50-{40-6}=
= 50-34=
=16

EXERCÍCIOS

1) Calcule as expressões

a) 3x75+3x25 = (R:300)
b) 5x97+5x3 = (R:500 )
c) 4x101+4x99 = (R:800)
d) 20x47+80x47 = (R:4700)
e) 12+16:8x3-5 = (R:13)f) 100-6x7+8:2 = (R:62)
g) 64:8+5x5-3 = (R: 30)
h) 1+3+5x7-9:3 = (R:36)

2) Calcule o valor das expressões:

a) 7+15:3 = (R:12)
b) 4x5+1 = (R:21)
c) 10:2+8 = (R:13)
d) 32+12:2 = (R:38)
e) 20:10+10 = (R:12)
f)7x3-2x5 = (R:11)
g)40-2x4+5 = (R:37)
h)4x3+10:2 = (R:17)i)50-16:8+7 = (R:55)j)32:4:2:2 = (R:2)

3) Calcule o valor das expressões

a) (13+2)x3+5 = (R:50)
b)(7+2)x(3-1) = (R:18)
c)(4+2x5)-3 = (R:11)d) 20-(15+6:3) = (R:3)
e)15+[6+(8-4:2)] = (R:27)
f)40-[3+(10-2):2] = (R:33)
g)[30+2x(5-3)]x2-10 = (R:58)
h) 10+[4+(7x3+1)]-3 = (R:33)

4) Calcule o valor das expressões

a) (3+2)x(5-1)+4 = (R:24)
b) 82-8x7:(4-1x3) = (R:26)
c) 25-[10-(2x3+1)] = (R:22)
d) 70-[12+(5x2-1)+6] = (R:43)
e)8:2+[15-(4x2+1)] = (R:10)
f)9+[4+2x(6-4)+(2+5)]-8 = (R:16)g) 50+{10-2x[(6+4:2)-(10-3)]} = (R:58)
h)180:{10+2x[20-45:(13-2x5)]} = (R:9)
5) Calcule o valor das expressões:

a) 70:7-1= (R:9)
b) 20+3x2= (R:26)
c) 30+10:10 = (R:31)
d) 150-7x12= (R:66)
e) 48:16+20:4 = (R:8)f) 10-8:2+3 = (R:9)
g) 30:5-1+2x3 = (R:11)
6) Calcule as expressões:

a)(3+4)x(9-8) = (R:7)
b)(20+8):(3+4) = (R:4)
c)15+8x(2+3) = (R:55)
d)(5+3x2)-1= (R:10)e)25+(8:2+1)-1= (R:29)
f) 15+[5x(8-6:2)] = (R:40)
g)50-[13-(10-2):2] = (R:41)h)[40+2x(7-5)]x2-20 = (R:68)
7) Calcule o valor das expressões:

a)16+[10-(18:3+2)+5]
b)25-[12-(3x2+1)]
c)90-[25+(5x2-1)+3]
d)45+[(8x5-10:2)+(18:6-2)]
e) 50-2x{7+8:2-[9-3x(5-4)]}
f)100-3x{5+8:2-[3x(7-6)]}

8) Determine o valor de cada expressão

a) 1000 - [(2 . 4 - 6) + ( 2 + 6 . 4)] = (R: 972)
b) 60 + 2 . {[ 4 . ( 6 + 2 ) - 10 ] + 12} = ( R: 128 )
c) [( 4 + 16 . 2) . 5 - 10] . 100 = (R: 17.000)
d) { 10 + [ 5 . ( 4 + 2 . 5) - 8] . 2 } - 100 = ( R: 34)
e) 80 - 5 . ( 28 - 6 . 4 ) + 6 - 3 . 4 = (R: 54)

9) Calcule

a) 4 . ( 10 + 20 + 15 + 30) = (R: 300)
b) (10 . 6 + 12 . 4 + 5 . 8 ) - 40 = (R: 108)
c) [ 6 . ( 3 . 4 - 2 . 5) - 4 ] + 3 . ( 4 - 2) - ( 10 : 2 ) = (R: 9)
d) 67 + { 50 . [ 70 : ( 27 + 8 ) + 18 : 2 ] + 21 } = (R:638)
e) [ 30 . ( 9 - 6)] + { 30 : ( 9 + 6 ) ] = (R: 92)
f) 58 - [ 20 - ( 3 . 4 - 2) : 5 ] = (R: 40)
g) 40 + 2 . [ 20 - ( 6 + 4 . 7 ) : 2 ] = ( R: 46)


10) Calcule o valor das expressões

a) (12 + 2 . 5) - 8 = (R: 14)
b) 25 - ( 15 + 6 : 3) = (R: 8)c) 25 +[7 + ( 8 - 4 :2)] = (R: 38)
d) 60 - [8 + ( 10 - 2 ) : 2] = (R: 46)
e) 80 - [ 22 + ( 5 . 2 - 1 ) + 6] = (R: 43)
f) 14 : 2 + [ 13 - ( 4 . 2 + 1 ) ] = (R: 11)
g) [ 30 + 2 x ( 5 – 3 ) ] x 2 – 10
h) 20 : 10 + 10
i) 10 + [ 4 + ( 7 x 3 + 1 ) ] – 3



11) Resolva as expressões numéricas:

a) 8 – ( 1 + 3)
b) 7x 3 – 2 x 5
c) ( 13 – 7 ) + 8 – 1
d)4 x 3 + 10 : 2
e) 15 – ( 3 + 2 ) – 6
f) 40 – 2 x 4 + 5
g) ( 10 – 4 ) – ( 9 – 8 ) + 3
h) 50 – 16 : 8 + 7
i) 50 – [37 – ( 15 – 8 ) ]
j) 32 : 4 : 2 : 2
l) 28 + [ 50 – ( 24 – 2 ) – 10 ]
m) ( 13 + 2) x 3 + 5
n) 20 + [ 13 + ( 10 – 6 ) + 4 ]
o) ( 7 + 2 ) x ( 3 – 1 )
p) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4 )]}
q) ( 4 + 2 x 5 ) – 3
r) 7 + 15 : 3
s) 20 – ( 15 + 6 : 3)
t) 4 x 5 + 1
u) 15 + [ 6 + ( 8 – 4 : 2 )]
v) 10 : 2 + 8
x) 40 – [ 3 – (10 – 2 ) : 2 ]
z) 32 + 12 : 2

Transformações Lineares

  1. Obter a expressão geral da transformação linear T:R³toR² definida de tal modo que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a forma geral, obtenha o vetor v em R³, tal que T(v)=(1,2).
    Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos de C={e1,e2,e3} que é a base canônica de R³, que são e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3= (0,0,1). Assim
    (x,y,z) = a(1,0,0)+ b(0,1,0)+ c(0,0,1) = (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c)
    Assim, x=a, y=b e z=c e como T é linear, segue que:
    T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1)]
    = T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)]
    = xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)
    = x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1)
    = (x+y+z,y−z)
    assim, a forma geral da referida transformação linear é:
    T(x,y,z) = (x+y+z,y−z)
    Para obter o vetor v=(x,y,z) em R³ tal que T(x,y,z)=(1,2), tomaremos a forma T(x,y,z)=(x+y+z,y−z) exigindo que T(x,y,z)=(1,2). Basta resolver o sistema:
    x+y+z = 1
    y − z = 2
    Como o sistema possui três variáveis e duas equações lineares, este sistema terá infinitas soluções. Somando membro a membro as equações acima, obteremos x+2z=3, de onde segue que x=−2y+3. Se escolhermos y=1, obteremos x=1 e z=3 e assim obteremos um vetor em R com a propriedade desejada que é v=(1,1,3).
    Também podemos resolver este problema da seguinte forma:
    Como x=−2y+3 e y=z+2, escrevemos x em função de z para obter x=−2z−1.
    Desse modo, (x,y,z)=(−2z−1,z+2,z). Tomando z=t, podemos escrever as equações paramétricas da reta que tem a direção do vetor v=(−2,1,1) e passa pelo ponto P0= (−1,2,0).
    x(t)=−2t−1,    y(t)=t+2,    z(t)=t
    Poderíamos ainda escrever (x,y,z)=(3−2y,y,y−2).
  2. Obter expressão geral da transformação linear T:R³toR² tal que T(1,0,0)=(1,0), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,1,1)=(4,7).
    Para resolver este problema escreveremos o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos da base B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} para obter
    (x,y,z) = a(1,0,0)+ b(1,1,0)+ c(1,1,1) = (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c) = (a+b+c,b+c,c)
    Assim, x=a+b+c, y=b+c e z=c e desse modo:
    T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(1,1,0)+ z(1,1,1)]
    = T[x(1,0,0)]+T[y(1,1,0)]+T[z(1,1,1)]
    = xT(1,0,0)+yT(1,1,0)+zT(1,1,1)
    = x(1,0)+y(2,3)+z(4,7)
    = (x+2y+4z,x+3y+7z)

Referências bibliográficas

  1. Boyer,Carl Boyer. História da Matemática,Editora Edgard Blücher,São Paulo. Pag.424-427. 1974.
  2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.

Raiz quadrada por fatoração

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves www.accbarrosogestar.wordpress.com
email accbarroso@hotmail.com
extraído do www.brasilescola.com
Dada a seguinte expressão:
Raízes exatas
Aplicando o uso da fatoração para o cálculo de raízes.

Exemplo 1


Exemplo 2

Exemplo 3Qual a medida da aresta de um cubo que possui volume igual a 729 cm³?


A medida da aresta de um cubo que possui 729 cm³ de volume é igual a 9 cm.

Raízes não-exatas

As raízes que não possuírem como resultado um número inteiro positivo, terá como resultado um número irracional. Por exemplo:
Com o uso de uma calculadora podemos encontrar o resultado.

Simplificação de radicais
Exemplo 1
Simplifique o seguinte radical:




Exemplo 2


Exemplo 3



Para calcularmos outras raízes utilizamos a mesma idéia da raiz quadrada e da raiz cúbica.

Adição e subtração de polinômios

Marcelo Rigonatto




Operações com polinômios
As operações de adição e subtração de polinômios requerem a utilização de jogos de sinais, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinômio. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos.

Adição de Polinômios.

Exemplo 1. Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. Calcule P(x) + Q(x).

Solução:

P(x) + Q(x) = (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12)
P(x) + Q(x) = (8x5 + x5 ) + ( 4x4 + 2x4 ) + ( 7x3 – 2x3 ) + (– 12x2 + 8x2 ) + (– 3x – 6x) + ( – 9 + 12)
P(x) + Q(x) = 9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3

Exemplo 2. Considere os polinômios:

A(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7
B(x) = 8x2 + x – 9
C(x) = 7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2

Calcule A(x) + B(x) + C(x).

Solução:
A(x) + B(x) + C(x) = (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + (8x2 + x – 9) + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x4 + (– 9x3 + x3) + (12x2 + 8x2 – 8x2) + (– 5x + x + 4x) + (7 – 9 + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x4 – 8x3 + 12x2

Para a operação de adição valem as seguintes propriedades:

a) Propriedade comutativa
P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

b) Propriedade associativa
[P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]

c) Elemento neutro
P(x) + Q(x) = P(x)
Basta tomar Q(x) = 0.

d) Elemento oposto
P(x) + Q(x) = 0
Basta tomar Q(x) = – P(x)

Subtração de Polinômios.

A subtração é feita de maneira análoga à adição, mas deve-se ficar muito atento aos jogos de sinais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3. Considere os polinômios:

P(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11
Q(x) = – 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15

Efetue P(x) – Q(x).

Solução:

P(x) – Q(x) = (10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) – (– 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15)
P(x) – Q(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11 + 3x6 – 4x5 + 3x4 – 2x3 – 12x2 – 3x – 15
P(x) – Q(x) = 13x6 + 3x5 – 6x4 – 8x3 + x2 – 7x – 4

Exemplo 4. Dados os polinômios:

A(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7
B(x) = 5x3 + 3x2 – 2x + 1
C(x) = 6x3 + 5x2 – 5x + 8

Calcule A(x) + B(x) – C(x).

Solução:

A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 2x2 – 3x + 7) + (5x3 + 3x2 – 2x + 1) – (6x3 + 5x2 – 5x + 8)
A(x) + B(x) – C(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7 + 5x3 + 3x2 – 2x + 1 – 6x3 – 5x2 + 5x – 8
A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 5x3 – 6x3) + (2x2 + 3x2 – 5x2) + (– 3x – 2x + 5x) + (7 + 1 – 8)
A(x) + B(x) – C(x) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Função

Função

Dados dois conjuntos A e B não vazios, função é uma relação R de A em B se e somente se para todo elemento x de A existe um único correspondente y em B.

Se você observar a figura ao lado esquerdo, verá que o elemento 1 de A possui a imagem b em B, o elemento 2 de A possui imagem b em B, porém o elemento 3 de A possui as imagens c e d em B.
Então, concluímos que essa relação R  de A em B não é uma função.

Exemplos de Funções: 

Sejam os conjuntos A= {1,2,3} e B= {1,2,3,4,9} e as relações:
a) R1
»  R1 é uma função de A em B, pois todo elemento de A tem um       único     correspondente (imagem) em B






b) R2
» R2 é uma função de A em B, pois todo elemento de A tem uma      única imagem em B
  A imagem do 1€A é 1 em B.
  A imagem do 2€A é 1 em B.
  A imagem do 3€A é 4 em B. 



Observação: Para que seja função:
1. Todo elemento de A tem imagem em B;
2. Cada elemento de A só tem uma única imagem em B.

Contra-exemplos:
c) R3
» R3 não é uma função, pois os elementos 2 e 3 de A não têm    imagens em B.






d) R4

» R4 não é uma função, pois há elementos de A, o 1, com mais de uma imagem em B (1 de A, tem as imagens 1 e 2 em B).





Exercícios:


1. Dados os conjuntos: E= {1,2,3,4} e B={2,5,6} e as relações abaixo, escreva se é função ou não é função:
a) R1= {(1,2),(2,5),(3,6)}
b) R2= {(1,2),(2,5),(3,2),(4,6)}
c) R3= {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5)}
d) R4= {(2,2),(3,5),(4,6)}

Respostas:
a) Veja: 1→2, 2→5, 3→6, como todos os elementos da esquerda (CONJUNTO E) têm uma única imagem, mas o 4 de E não têm imgem,  logo: NÃO É FUNÇÃO.

b) Veja: 1→2, 2→5, 3→2 e 4→6, TODOS ELEMENTOS DE E TÊM IMAGENS - É FUNÇÃO.

c) Veja esquema: 1→5, 2→5,  3→5 e 4→5, idem - É FUNÇÃO.

d) Veja esquema: 2→2, 3→5, 4→6, Como o elemento 1 não tem imagem, NÃO É FUNÇÃO. 

2. Dada a função f de A em B pelo diagrama de setas, dê a imagem dos elementos a, b, c, e d.









Resposta: Imagens de {a,b,c,d} são:{1,1,2,4}

Notação
Uma função f de A em B, ou seja, domínio em A e imagem no contradomínio B, indica-se:
f: A→B  (lê-se f de A em B)
Assim, cada elemento x de A está associado a um único y, imagem de x pela função f, que se indica f(x) e lê-se f de x.

RESUMO:
» O conjunto A chama-se domínio da função f.
» O conjunto B chama-se contradomínio da função f.
» x é o elemento arbitrário do domínio.
» y=f(x) é a imagem de x no contradomínio.
» O conjunto dos elementos de B que são imagens dos elementos de A forma o conjunto imagem (Im).
fonte:recordandomatematica.blogspot.com.br

Adição e Subtração de Polinômios


Operações com polinômios
As operações de adição e subtração de polinômios requerem a utilização de jogos de sinais, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinômio. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos.

Adição de Polinômios.

Exemplo 1. Dados os polinômios P(x) = 8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9 e Q(x) = x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12. Calcule P(x) + Q(x).

Solução:

P(x) + Q(x) = (8x5 + 4x4 + 7x3 – 12x2 – 3x – 9) + ( x5 + 2x4 – 2x3 + 8x2 – 6x + 12)
P(x) + Q(x) = (8x5 + x5 ) + ( 4x4 + 2x4 ) + ( 7x3 – 2x3 ) + (– 12x2 + 8x2 ) + (– 3x – 6x) + ( – 9 + 12)
P(x) + Q(x) = 9x5 + 6x4 + 5x3 – 4x2 – 9x + 3

Exemplo 2. Considere os polinômios:

A(x) = – 9x3 + 12x2 – 5x + 7
B(x) = 8x2 + x – 9
C(x) = 7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2

Calcule A(x) + B(x) + C(x).

Solução:
A(x) + B(x) + C(x) = (– 9x3 + 12x2 – 5x + 7) + (8x2 + x – 9) + (7x4 + x3 – 8x2 + 4x + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x4 + (– 9x3 + x3) + (12x2 + 8x2 – 8x2) + (– 5x + x + 4x) + (7 – 9 + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x4 – 8x3 + 12x2

Para a operação de adição valem as seguintes propriedades:

a) Propriedade comutativa
P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

b) Propriedade associativa
[P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]

c) Elemento neutro
P(x) + Q(x) = P(x)
Basta tomar Q(x) = 0.

d) Elemento oposto
P(x) + Q(x) = 0
Basta tomar Q(x) = – P(x)

Subtração de Polinômios.

A subtração é feita de maneira análoga à adição, mas deve-se ficar muito atento aos jogos de sinais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3. Considere os polinômios:

P(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11
Q(x) = – 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15

Efetue P(x) – Q(x).

Solução:

P(x) – Q(x) = (10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11) – (– 3x6 + 4x5 – 3x4 +2x3 + 12x2 + 3x + 15)
P(x) – Q(x) = 10x6 + 7x5 – 9x4 – 6x3 + 13x2 – 4x + 11 + 3x6 – 4x5 + 3x4 – 2x3 – 12x2 – 3x – 15
P(x) – Q(x) = 13x6 + 3x5 – 6x4 – 8x3 + x2 – 7x – 4

Exemplo 4. Dados os polinômios:

A(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7
B(x) = 5x3 + 3x2 – 2x + 1
C(x) = 6x3 + 5x2 – 5x + 8

Calcule A(x) + B(x) – C(x).

Solução:

A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 2x2 – 3x + 7) + (5x3 + 3x2 – 2x + 1) – (6x3 + 5x2 – 5x + 8)
A(x) + B(x) – C(x) = x3 + 2x2 – 3x + 7 + 5x3 + 3x2 – 2x + 1 – 6x3 – 5x2 + 5x – 8
A(x) + B(x) – C(x) = (x3 + 5x3 – 6x3) + (2x2 + 3x2 – 5x2) + (– 3x – 2x + 5x) + (7 + 1 – 8)
A(x) + B(x) – C(x) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Posição relativa entre duas circunferências

No estudo analítico da circunferência, os elementos raio, diâmetro e centro da circunferência são fundamentais para conclusões de diversos problemas e para a determinação da equação que define essa forma geométrica tão importante. Em se tratando de posições relativas entre duas circunferências, elas podem ser: tangentes, secantes, externas, internas ou concêntricas. Vamos analisar cada caso.
1. Circunferências tangentes.

a) Tangentes externas
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem somente um ponto em comum e uma exterior à outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das duas circunferências seja equivalente à soma das medidas de seus raios.

dOC = r1 + r2
b) Tangentes internas
Duas circunferências são tangentes internas quando possuem apenas um ponto em comum e uma esteja no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os dois centros seja igual à diferença entre os dois raios.
dOC = r1 - r2
2. Circunferências externas.
Duas circunferências são consideradas externas quando não possuem pontos em comum. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser maior que a soma das medidas de seus raios.
dOC > r1 + r2
3. Circunferências secantes.
Duas circunferências são consideradas secantes quando possuem dois pontos em comum. A condição para que isso aconteça é que a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que a soma das medidas de seus raios.
dCO < r1 + r2
4. Circunferências internas.
Duas circunferências são consideradas internas quando não possuem pontos em comum e uma está localizada no interior da outra. A condição para que isso ocorra é que a distância entre os centros das circunferências deve ser equivalente à diferença entre as medidas de seus raios.
dOC < r1 - r2
5. Circunferências concêntricas.
Duas circunferências são consideradas concêntricas quando possuem o centro em comum. Nesse caso, a distância entre os centro é nula.
dCO = 0
Exemplo: Dadas as circunferências λ e σ, de equações:
λ: x2 + y2 = 9
σ: (x – 7)2 + y2 = 16
Verifique a posição relativa entre elas.

Solução: Para resolução do problema devemos saber as coordenadas do centro e a medida do raio de cada uma das circunferências. Através da equação de cada uma podemos encontrar esses valores.
Como a equação de toda circunferência é da forma: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, teremos:

Conhecidos os elementos de cada uma das circunferências, vamos calcular a distância entre os centros, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Adição de polinómios

O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:

Adição

Exemplo 1

Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.

(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.

+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6

x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.

x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6

–2x2 + 5x – 7

Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7


Exemplo 2

Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:

(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.

4x2 – 10x + 6x – 5 + 12

4x2 – 4x + 7

Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7

Subtração

Exemplo 3

Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.

(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6

5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.

5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6

8x2 – 19x – 2

Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2


Exemplo 4

Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5

0x³ – 6x² + x + 16

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16


Exemplo 5

Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:

a) A + B + C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45

b) A – B – C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
extraido de www.mundoeducacao.com.br

NÚMEROS INTEIROS

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:
x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0
As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. altAstrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.
Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:
Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.
Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.
Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}
Exemplos de subconjuntos do conjunto Z
Conjunto dos números inteiros exceto o número zero:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Conjunto dos números inteiros não positivos:
Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}
Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:
alt
Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.
Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
3 é sucessor de 2 e 2 é antecessor de 3
-5 é antecessor de -4 e -4 é sucessor de -5
0 é antecessor de 1 e 1 é sucessor de 0
-1 é sucessor de -2 e -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3
O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:
|x| = max{-x,x}
Exemplos:
|0| = 0, |8| = 8, |-6| = 6
Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.
ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7
(+3) + (+4) = (+7)
perder 3 + perder 4 = perder 7
(-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3
(+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3
(-8) + (+5) = (-3)
Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Exemplos:
-3 + 3 = 0, 6 + 3 = 9, 5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0

Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:
1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, teremos:
2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, teremos:
(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60
Observamos então que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1)×(+1)=(+1)
(+1)×(-1)=(-1)
(-1)×(+1)=(-1)
(-1)×(-1)=(+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b x c ) = ( a x b ) x c
2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que
z x z-1 = z x (1/z) = 1
9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1

Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )
3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 )

Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.
an = a × a × a × a × ... × a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
(-2)3 = (-2) x (-2) x (-2) = -8
(-5)2 = (-5) x (-5) = 25
(+5)2 = (+5) x (+5) = 25
com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.
Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a^2 pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a3 pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a^2 onde a é o lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a3 onde a é o lado do cubo.

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.
Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].
Dessa forma, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:
b=Rn[a] se, e somente se, a=bn
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado é igual ao número a.
Observação importante: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.
Erro muito comum: Frequentemente lemos em alguns materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
R[9] = ±3
mas isto está errado. O certo é:
R[9] = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.
Exemplos:
R3[8] = 2, pois 23 = 8.
R3[-8] = -2, pois (-2)3 = -8.
R3[27] = 3, pois 33 = 27.
R3[-27] = -3, pois (-3)3 = -27.
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br

Os estados físicos da água

A água pode ser encontrada em três estados físicos:



A água pode mudar de estado físico como, por exemplo, ir do estado sólido para o líquido. Um exemplo disso é quando deixamos o gelo (estado sólido da água) fora da geladeira e ele derrete virando líquido.

Existem nomes que representam cada uma destas mudanças de estados físicos, veja abaixo quais são:



Para que aconteçam a fusão e a vaporização é necessário fornecer energia – aquecer – a água.
Para que aconteçam a solidificação (mudança de estado liquido para o estado sólido) e a liquefação (do estado gasoso para o liquido) é preciso retirar energia – o calor – da água.
A evaporação da água no seu ciclo natural ocorre à temperatura ambiente e é lenta. A água ferve, do liquido para o gasoso, de forma muito mais rápida, por que ocorre a ebulição.
O ponto de ebulição da água depende também do nível de pressão do ambiente.
Ebulição e vaporação são, na realidade, tipos de vaporização.

O que é água?
Pode até parecer um pouco absurdo fazer esta pergunta, mas o que é a água? Já que todos bebemos água e já a utilizamos para as mais variadas necessidades em infinidáveis momentos da nossa vida.
Mas, afinal qual é a composição deste líquido que dá vida a todo o planeta terra? A água é formada por dois átomos de hidrogênio (H2) e por um átomo de oxigênio (O), formando assim, a molécula H2O.

Propriedades da água


* Apresenta praticamente a mesma massa desde que o Planeta se formou.

* É purificada pela evaporação e também pela penetração no solo, até os lençóis freáticos.

* A água potável é cristalina, inodora, incolor e insípida.

* É considerada solvente universal, propiciando a formação de misturas com outras substâncias.

* Pode transportar substâncias e outros corpos.

* Quando em repouso, apresenta sua superfície plana e horizontal.

* Apresenta uma tensão superficial, isto é, capacidade de manter juntas as moléculas de sua superfície.

* Uma torneira que goteja demonstra como a água se apega a si mesma. À medida que a água cai em gotas, cada gota fica um instante pendurada na torneira, estende-se, solta-se, e a seguir forma instantaneamente uma pequena bola. As moléculas da superfície da água mantêm-se tão coesamente ligadas entre si que a água pode sustentar objetos mais pesados que ela. A água salgada apresenta maior densidade do que água doce.

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