articulador 1

domingo, 24 de julho de 2016

Geométria Espacial

O volume de um corpo pode ser calculado pelo produto da área da base pela medida da altura. De uma forma geral, podemos aplicar a seguinte fórmula:

V = Ab x h

Ab = área da base
h = altura








extraido de mundoeducacao.com.br

sábado, 23 de julho de 2016

Medidas de Volume

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        


Medidas de volume
Introdução
Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Múltiplos
Unidade Fundamental
Submúltiplos
quilômetro cúbico
hectômetro cúbico
decâmetro cúbico
metro cúbico
decímetro cúbico
centímetro cúbico
milímetro cúbico
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1.000.000.000m3
1.000.000 m3
1.000m3
1m3
0,001m3
0,000001m3
0,000000001 m3

Leitura das medidas de volume

A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, tres algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.
  • Leia a seguinte medida: 75,84m3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
75, 840
Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

  • Leia a medida: 0,0064dm3
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
0, 006 400
Lê-se "6400 centímetros cúbicos".
Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.
Observe a seguinte transformação:
  • transformar 2,45 m3 para dm3.
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.
2,45 x 1.000 = 2.450 dm3

Pratique! Tente resolver esses exercícios:
1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3)
2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3)
3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3)
4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)
www.somatematica.com.br

Poliedros

Afirmar que poliedro são sólidos formados por faces (partes limitadas de um plano), pode dar uma ideia do que eles sejam, mas não serve absolutamente como definição; aliás, uma das grandes dificuldades para o desenvolvimento desse tema, bem como fazer demonstrações dos teoremas sobre poliedros, estava justamente na falta de uma definição precisa do significado dessa palavra.
Definição

A seguinte definição nos dá uma idéia do que é poliedro, então definiremos assim:

“Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos planos, onde cada lado de um desses polígonos é também lado de um, e apenas um, outro polígono”.

Vejam os seguintes exemplos:

OBS: Podemos também encontrar como definição para poliedros, o seguinte: É um sólido limitado por polígonos, que tem, dois a dois, um lado comum.

Cada poliedro é formado pela reunião de um número finito de regiões poligonais planas, chamadas de faces. Cada lado de uma região poligonal, comum a exatamente duas faces, é chamada aresta do poliedro. E cada vértice de uma face é um vértice do poliedro. Veja:

Fig. 01
Poliedro convexo e Poliedro não-convexo

Observe as figuras abaixo:

Qual dessas figuras você classificaria como poliedro convexo e como poliedro não convexo?

A resposta para essa indagação fica mais fácil quando temos conhecimento de que:

“Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos”.

Logo, podemos concluir, que o poliedro convexo está representado pela figura 02, e a figura 03 é um exemplo de poliedro não-convexo.
Teorema de Euler

O matemático suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) descobriu uma importante relação entre o número de vértice (V), o número de aresta (A) e o número de faces (F) de um poliedro convexo.

O teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde então diversas demonstrações apareceram na literatura e algumas continham falhas (como a de Cauchy), que foram descobertas muitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas à falta de precisão na definição de poliedro. Mesmo Euler nunca se preocupou em definir precisamente essa palavra.

Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação:

V – A + F = 2
Exercícios Resolvidos

1º) Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?

Resolução:

Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:

12 . 5 = 60

O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim 20 . 6 = 120, logo: F = 12 + 20 = 32

Cada aresta foi contada duas vezes, portanto temos:

2A = 60 + 120
A = 90

Como o poliedro é convexo, vale a relação de Euler,

V – A + F = 2, portanto:

V – 90 + 32 =2
V = 2 + 90 – 32
V = 60

Assim, o número de vértices é 60.

2º) Determinar o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 4 faces triangulares.

Resolução:

Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 . 4 = 24

O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 . 3 = 12

Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é: A = (24+12)/2 = 18

Temos então F = 10, A = 18.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2
V – 18 + 10 = 2
V = 10

Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
Exercícios para praticar

1º) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem três faces triangulares, uma face quadrangular, uma face pentagonal e duas faces hexagonais.

2º) (PUC –SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é:

a) 4 b) 12 c) 10 d) 6 e) 8

Referências Bibliográficas:
DANTE,Luiz Roberto. Matemática, volume único. São Paulo: Editora Ática, 2005.
Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner Eduardo; Morgado Augusto Cesar. Matemática do Ensino Médio, Volume 2.Rio de Janeiro: Editora Sociedade Brasileira de Matemática.

Cubo

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        



Cubo


Cubo é todo paralelepípedo com superfície quadrada.


Ao possuir aresta (a), área total (At), grandeza da diagonal (D) e volume (V), temos:


Resumo:

• Paralelepípedo reto – retângulo de medidas a, b, e c.



extraido de www.colegioweb.com.br

Lei do cosseno

Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de formação:
Exemplo 1
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a seguir:
a² = b² + c² – 2 * b * c * cos?
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0

Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:

x’ = 8 e x” = – 5, por se tratar de medidas descartamos x” = –5 e utilizamos x’ = 8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

Exemplo 2
Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6 cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.

Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.



Aplicando a lei dos cossenos

a = 7, b = 6 e c = 5

7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2

O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.


Exemplo 3

Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5

x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * ( – cos 60º)
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7

Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.
Marcos Noé

Lei dos senos

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa. Observe:

Seno: cateto oposto / hipotenusa
Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa
Tangente: cateto oposto / cateto adjacente

Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo, aquele que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Nos casos envolvendo triângulos quaisquer utilizamos a lei dos senos ou a lei dos cossenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Enfatizaremos a lei dos senos mostrando sua fórmula e modelos detalhados de resoluções de exercícios.

Fórmula que representa a lei dos senos:
Na lei dos senos utilizamos relações envolvendo o seno do ângulo e a medida oposta ao ângulo.

Exemplo 1

Determine o valor de x no triângulo a seguir.
sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865
sen45º = √2/2 ou 0,705

Exemplo 2

No triângulo a seguir temos dois ângulos, um medindo 45º, outro medindo 105º, e um dos lados medindo 90 metros. Com base nesses valores determine a medida de x.
Para determinarmos a medida de x no triângulo devemos utilizar a lei dos senos, mas para isso precisamos descobrir o valor do terceiro ângulo do triângulo. Para tal cálculo utilizamos a seguinte definição: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. Portanto:

α + 105º + 45º = 180º
α + 150º = 180º
α = 180º – 150º
α = 30º

Aplicando a lei dos senos





Marcos Noé

Unidades de Volume

Unidades de Volume


O metro cúbico (m3) é a unidade fundamental de volume.

Já sabemos que medir é comparar com uma medida padrão adotada. A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico ( m3 )
que é a medida correspondente ao volume de um cubo com 1 metro de lado. Quando afirmamos, por exemplo, que o volume de um
sólido é igual a 75 m3 , estamos afirmando que esse sólido ocupa no espaço um volume equivalente a 75 cubos de 1m x 1m x 1 m.

Como a medida padrão metro cúbico se torna pequena para medirmos grandes volumes e muito grande ao medirmos pequenos
volumes foram criados os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico, que mostraremos na tabela a seguir.

Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilômetro cúbico hectômetro cúbico decâmetro cúbico metro cúbico decímetro
cúbico centímetro cúbico milímetro
cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
109 m3 106 m3 103 m3 1 m3 10-3 m3 10-6 m3 10-9 m3


Mudanças de Unidade - Unidades de Volume


Como a tabela nos mostra cada unidade é 1 000 vezes maior que a unidade posicionada à sua direita e 1 000 vezes menor que a
unidade posicionada à sua esquerda. Assim :

O metro cúbico é 1 000 vezes maior que o decímetro cúbico, 1 000 000 vezes maior que o centímetro cúbico e 1 000 000 000 vezes
maior que o milímetro cúbico.

O metro cúbico é 1 000 vezes menor que o decâmetro cúbico, 1 000 000 vezes menor que o hectômetro cúbico e 1 000 000 000 vezes
menor que o quilômetro cúbico.

Exemplo 5 - Transformar 0,003470 dam3 em dm3.
Como o decímetro cúbico é a segunda casa à direita do decâmetro cúbico, caminharemos com a vírgula três casas até o metro cúbico,
e mais três casas até o decímetro cúbico, ou seja, caminharemos 3 x 2 = 6 casas para a direita, e se necessário, completaremos o
número com zeros.

Então : 0,003470 dam3 = 3,470 m3 = 3470 dm3

Exemplo 6 - Transformar 431 858,7 mm3 em m3.
Como o metro cúbico é a terceira casa à esquerda do milímetro cúbico, caminharemos com a vírgula três casas até o centímetro
cúbico, três casas até o decímetro cúbico e mais três casas até o metro cúbico, ou seja, caminharemos 3 x 3 = 9 casas para a esquerda,
e se necessário, completaremos o número com zeros.

Então : 4 318 58,7 mm3 = 431,857 8 cm3 = 0, 431 857 8 dm3= 0,000 431 857 8 m3

Volume de alguns Sólidos.




Unidades de Capacidade


A diferença entre Volume e Capacidade


Você certamente já viu um paralelepípedo, aqueles blocos de pedra que ainda calçam boa parte de nossas ruas. Ele possui volume já
que ele ocupa lugar no espaço. Não seria correto afirmarmos que ele possui capacidade. Dentro dele não há espaço para conter nada.

Uma caixa de sapato, por sua vez, também ocupa lugar no espaço, portanto possui volume, mas, além dele, ainda possui a capacidade
de conter algum volume em seu interior.

A Medida de Capacidade


Dentro de nosso sistema métrico decimal, consideramos como unidade fundamental de capacidade o litro ( l ) e de acordo com o
Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é , aproximadamente, equivalente ao o volume de um cubo que possui 1 dm de
aresta, ou seja :

1 litro = 1,000027 dm3 e aceitaremos que : 1 litro = 1 dm3

A Capacidade interna de um cubo de 1 dm de aresta e paredes desprezíveis é de 1 litro.

Outras Unidades de Capacidade


Além do litro, utilizamos outras unidades para medir a capacidade dos recipientes. São elas :

Múltiplos do litro

decalitro ( dal ) - Capacidade equivalente a 10 litros 1 dal = 10l
hectolitro ( hl ) - Capacidade equivalente a 100 litros 1 hl = 100 l
quilolitro ( kl ) - Capacidade equivalente a 1.000 litros 1 kl = 1.000 l

Submúltiplos do litro

decilitro ( dl ) - Capacidade equivalente a 0,1 litros 1 dl = 0,1l 1 l = 10 dl
centilitro ( cl ) - Capacidade equivalente a 0,01 litros 1 cl = 0,01 l 1 l = 100 cl
mililitro ( ml ) - Capacidade equivalente a 0,001 litros 1 ml = 0,001 l 1 l = 1.000 ml

E montando uma tabela, teremos :


Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
kl hl dal l dl cl ml
1 000 l 100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l


Transformação de Unidades de Capacidade


Diferente do que acontece com as unidades de volume, as unidades de capacidade variam como as unidades de comprimento,
ou seja: Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade que a antecede. Assim :

O litro é 10 vezes maior que o decilitro, 100 vezes maior que o centilitro e 1 000 vezes maior que o mililitro.

O litro é 10 vezes menor que o decalitro, 100 vezes menor que o hectolitro e 1 000 vezes menor que o quilolitro.

Exemplo 7: Transfomar 5,34 kl para dl

De 5,34 kl para dl caminharemos quatro casas para a direita, com isso, andaremos com a vírgula para a direita quatro casas,
Assim: 5,34 kl = 53.400 dl

Exemplo 8: Transfomar 78.603 dl para hl

De 78.603 dl para hl caminharemos três casas para a esquerda, com isso, andaremos com a vírgula três casas para a esquerda,
Assim: 78.603 dl =78,603 hl

Relação entre as Unidades de Volume e Capacidade


Como já havíamos visto na definição de litro : 1 litro = 1 dm3 e como conseqüencia : 1 kl = 1 m3 e 1 ml = 1 cm3. Veja a tabela :

Quilolitro Litro Mililitro
kl l ml
1 m3 1 dm3 1 cm3


Transformação de Unidades de Capacidade e Volume


Para transformarmos Unidade de Capacidade em unidades de Volume e vice-versa devemos ter sempre a relação de igualdade :
1 l = 1 dm3

Exemplo 9 : Quantos litros estão contidos em 45,7 cm3 ?
Inicialmente transformaremos cm3 em dm 3
45,7 cm3 = 0,0457 dm3 e assim 0,0457 dm3 = 0,0457 litros

Exemplo 10 : Quantos litros de água cabem numa piscina de 10 m x 5 m x 3 m ?
Inicialmente calculemos o volume dessa piscina:
10 m x 5 m x 3 m = 150 m3. Transformemos 150 m3 para dm3
150 m3 = 150.000 dm3 = 150.000 litros de água

Exemplo 11 : Um vasilhame contém 2,75 litros de refrigerante. Quantos cm3 ele contém ?
Sabemos que 2,75 l = 2,75 dm3 e passando para cm3, teremos : 2,75 dm3 = 2.750 cm3

A Unidade de Massa


Dentro de nosso sistema métrico decimal, consideramos como unidade fundamental de massa o quilograma ( kg ) . Para mantermos a
coerência com as demais medidas, ainda consideraremos o grama ( g ) como unidade fundamental.

A Diferença entre Peso e Massa


Definimos Massa como sendo a quantidade de matéria presente em um corpo e definimos peso como sendo a ação da força da
gravidade sobre essa massa. Como a força da gravidade varia de acordo com a distância que o objeto se encontra do centro da terra,
o peso é variável, mas a massa de um corpo é sempre constante. Numa mesma região os conceitos de massa e peso podem ser
considerados iguais.

Outras Unidades de Massa


Além do grama e do quilograma, utilizamos outras unidades para medir a massa dos corpos. São elas :

Múltiplos do grama

decagrama ( dag ) - Capacidade equivalente a 10 gramas 1 dag = 10 g
hectograma ( hg ) - Capacidade equivalente a 100 gramas 1 hg = 100 g
tonelada ( t) - Capacidade equivalente a 1 000 quilogramas 1 t = 1 000 kg

Submúltiplos do grama

decigrama ( dg ) - Capacidade equivalente a 0,1 gramas 1 dg = 0,1 g 1 g = 10 dg
centigrama ( cg ) - Capacidade equivalente a 0,01 gramas 1 cg = 0,01 g 1 g = 100 cg
miligrama ( mg ) - Capacidade equivalente a 0,001 gramas 1 mg = 0,001 g 1 g = 1.000 mg

E montando uma tabela, teremos :


Múltiplos do grama Unidade Fundamental Submúltiplos da grama
tonelada quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
t kg hg dag g dg cg mg
1 000 kg 1 000 g 100 g 10 g 1 g 0,1 g 0,01 g 0,001 g


Transformação de Unidades de Massa


Exatamente como acontece com as unidades de capacidade, as unidades de massa variam como as unidades de comprimento, ou seja:

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade que a antecede. A grande exceção é a tonelada que é equivalente a 1 000 kg. Assim :

O grama é 10 vezes maior que o decigrama, 100 vezes maior que o centigrama e 1 000 vezes maior que o miligrama.

O grama é 10 vezes menor que o decagrama, 100 vezes menor que o hectograma e 1 000 vezes menor que o quilograma e um milhão
de vezes menor que a tonelada

Exemplo 12: Transfomar 7,61 hg para cg
De 7,61 hg para dg caminharemos três casas para a direita, com isso, andaremos com a vírgula para a direita três casas,
Assim: 7,61 hg = 7. 610 dg

Exemplo 13: Transfomar 82.509 cg para kg
De 82.509 cg para kg caminharemos cinco casas para a esquerda, com isso, andaremos com a vírgula cinco casas para a esquerda,
Assim: 82.509 cg = 0,825 09 kg

Exemplo 14: Transfomar 0,045 t para dag
0,045 t para dag caminharemos três casas para a direita para transformarmos tonelada em quilograma e andaremos mais duas casas
para chegarmos a decagrama, com isso, andaremos com a vírgula cinco casas para a direita,
Assim: 0,045 t = 4.500 dag

A Unidade de Tempo


Consideramos como unidade fundamental de tempo o segundo ( s ). O segundo é definido como o intervalo de tempo equivalente
à fração 1/86 400 do dia solar médio.

Outras Unidades de Tempo


Múltiplos do segundo

minuto ( min ) - Intervalo de tempo equivalente a 60 segundos 1 min = 60 s
hora ( h ) - Intervalo de tempo equivalente a 3 600 segundos 1 h = 60 min = 3 600 s
dia ( d ) - Intervalo de tempo equivalente a 86 400 segundos 1 d = 86 400 segundos

Submúltiplos do segundo. Apesar de não serem considerados oficiais, são utilizados, especialmente em medições muito precisas de
tempo, por exemplo nos tempos esportivos. Não devem ser consideradas oficiais já que estão no sistema decimal e não no oficial
sistema sexagesimal.

Décimo de segundo - Intervalo de tempo equivalente à décima parte do segundo è 10 décimos de segundo = 1 s

Centésimo de segundo - Intervalo de tempo equivalente à centésima parte do segundo è 100 centésimos de segundo = 1 s

Percebemos que unidades de tempo não pertencem ao sistema decimal de numeração e sim ao sistema sexagesimal, pois cada
unidade é 60 vezes maior que a anterior.

E montando uma tabela, teremos :


Múltiplos do segundo Unidade Fundamental Submúltiplos da segundo
dia hora minuto segundo décimos de segundo centésimos de segundo
d h min s
86 400 s 3 600 s 60 s 1 s 0,1 s 0,01 s


Transformação de Unidades de Tempo


Por não serem unidades decimais, as transformações de unidades são bastantes diferentes das mostradas até aqui.

Assim :

O segundo é 60 vezes menor que o minuto, 3 600 vezes menor que a hora e 86 400 vezes menor que o dia.

E na errônea definição de submúltiplos do segundo. O segundo é 10 vezes maior que o décimo de segundo, 100 vezes maior que o
centésimo de segundo.

Exemplo 15: Transfomar 458 h para dias
Se dividirmos 458 horas por 24 horas ( o número de horas do dia ) encontraremos para quociente 19 e para resto 2, ou seja,
19 dias e 2 horas

Exemplo 16: Quantos segundos temos em uma semana ?
Sabemos que uma semana tem 7 dias, cada dia tem 24 horas, cada hora tem 60 minutos e cada tem 60 segundos.
Assim : 1 semana = 7 x 24 x 60 x 60 = 604.800 segundos.

Exemplo 17: Quantas dias, horas, minutos e segundos existem em 100.000 segundos ?
Se dividirmos 100.000 s por 60 teremos o números de minutos : 1.666 min e 40 s de resto
Se dividirmos 1.666 min por 60 teremos o números de horas : 27 horas e 46 min de resto
Se dividirmos 27 horas por 24 teremos o números de dias : 1 dia e 3 horas de resto
Assim : 100.000 segundos = 1 dia 3 horas 46 min 40 s .

Outras Unidades de Tempo


Semana Intervalo de Tempo Equivalente a 7 dias
Mês Civil Intervalo de Tempo Equivalente a 30 dias ou 31 dias
Mês Comercial Intervalo de Tempo Equivalente a 30 dias
Ano Civil Intervalo de Tempo Equivalente a 365 dias
Ano Bissexto Intervalo de Tempo Equivalente a 366 dias
Ano Comercial Intervalo de Tempo Equivalente a 360 dias
Bimestre Intervalo de Tempo Equivalente a 2 meses
Trimestre Intervalo de Tempo Equivalente a 3 meses
Semestre Intervalo de Tempo Equivalente a 6 meses
Biênio Intervalo de Tempo Equivalente a 2 anos
Lustro ( Em Desuso ) Intervalo de Tempo Equivalente a 5 anos
Década ou Decênio Intervalo de Tempo Equivalente a 10 anos
Século Intervalo de Tempo Equivalente a 100 anos
Milênio Intervalo de Tempo Equivalente a 1000 anos

Curiosidades


Curiosidades referentes à Geografia
O campo de estudo da ciência geográfica é muito amplo, fato que possibilita a análise de diversos fenômenos que ocorrem no espaço. Sendo assim, a Geografia é responsável pela abordagem dos acontecimentos naturais, das modificações na natureza causadas pela relação homem-meio, organização espacial, interpretação da paisagem, descrição dos lugares, sociedade, análise geopolítica, economia, entre outros temas.
A seção “Curiosidades” disponibiliza uma série de artigos com os mais variados assuntos abordados pela Geografia. Entre os vários temas, o leitor poderá se inteirar sobre:
- A origem da atmosfera.
- A teoria do Big Bang.
- Movimento de Rotação.
- Linha do Equador.
- Buraco negro.
- Cruzeiro do Sul.
- Eras Geológicas.
- Estações do Ano.
- Oceanos.
- Água.
- Dessalinização da Água.
- Principais placas tectônicas.
- Terremotos.
- Ciclone.
- Tsunami.
- A relação entre hidrografia, clima e relevo.
- Al-Qaeda.
- Anistia Internacional.
Ótima leitura!
Wagner de Cerqueira e Francisco

Cálculo da área do cone

Elementos de um cone
Elementos de um cone


O cálculo da área consiste em calcular a superfície de um determinado objeto ou figura. Quando falamos sobre área de uma figura espacial, estamos falando da área de toda a superfície desta figura.

Para realizar o cálculo da área de um cone, teremos que separar seus elementos (afinal, trata-se de uma figura espacial), para conseguirmos deixar esse cone planificado e assim calcularmos sua área.
Cone na parte superior direita; e, abaixo, a planificação do cone

Planificação do cone

Sendo assim, teremos que calcular duas áreas, uma referente à área da base deste cone e a outra referente à parte lateral.

Área da base

Trata-se da área de um círculo. Com isso temos que:

• Área lateral

Note que a planificação da superfície lateral do cone resulta em um setor circular que possui os seguintes elementos:

- raio: g (geratriz do cone)

- comprimento do arco: 2πr (perímetro da base do cone)
Cone planificado

Com isso, para que possamos calcular a área da superfície lateral, devemos calcular a área do setor circular. Dessa forma, temos que utilizar uma regra de três simples:
Comprimento do arco Área do setor
2πg ---------------------- πg²
2πr ------------------------- Alateral
Sendo assim, para encontrarmos a área total, basta somarmos as duas áreas.
Gabriel Alessandro de Oliveira

Circunferências




O cálculo de áreas na geometria está presente em diversas situações cotidianas. As unidades mais utilizadas na especificação de áreas são o metro quadrado (m²), quilômetro quadrado (km²) e o centímetro quadrado (cm²). Determinar a área de uma figura significa medir o tamanho de sua superfície, utilizando as medidas de suas dimensões: comprimento e largura.

Na geometria, cada figura regular está associada a uma expressão matemática capaz de determinar a medida de sua superfície. Mas em alguns casos, a determinação da área deve ser calculada utilizando duas ou mais expressões. Esse tipo de cálculo exige uma interpretação espacial da figura, diagnosticando o tipo de expressão que será usado no cálculo da área.

Exemplo 1
Determine a área destacada da figura, considerando que o raio da circunferência inscrita no quadrado seja igual a 4 metros.

Resolução

Área do quadrado é dada pela expressão: A = l²
Área da circunferência é dada pela expressão: A = π*r²

O raio da circunferência é igual a 4 metros, dessa forma seu diâmetro vale 8. A medida do lado do quadrado será correspondente ao diâmetro da circunferência, medindo 8 metros.

Área do quadrado
A = l²
A = 8²
A = 64 m²

Área da circunferência
A = π*r²
A = 3,14 * 4²
A = 3,14 * 16
A = 50,24 m²

A área da parte destacada é resultante da subtração entre a área do quadrado e a área da circunferência.
A = 64 – 50,24
A = 13,76 m²

Portanto, a área destacada é igual a 13,76 metros quadrados.


Exemplo 2

A figura a seguir representa uma peça de cerâmica para revestimento de pisos. Sabemos que a medida do raio de cada circunferência é igual a 2 cm. Determine a área em negrito, após o revestimento de uma sala retangular de dimensões 8m x 12m.

Área em negrito da cerâmica

Sabemos que o raio de cada circunferência mede 10 cm, portanto o diâmetro de cada circunferência medirá 4 cm. Existe uma relação entre o lado do quadrado e o diâmetro da circunferência, observe ilustração:


Para determinarmos a área em negrito da cerâmica devemos calcular a área do quadrado e subtrair das áreas das circunferências.

Área do quadrado (cerâmica)
A = l²
A = 40²
A = 1600 cm²

Área das circunferências
A = π * r²
A = 3,14 * 10²
A = 3,14 * 100
A = 314 cm²

314 * 4 = 1256 cm²

Área em negrito da cerâmica:

A = 1600 – 1256
A = 344 cm²


Precisamos calcular a área da sala revestida pela cerâmica, veja:

Área da sala = 12 x 8 = 96 m²


Cada cerâmica possui 1600 cm² de área, precisamos saber quantas peças serão gastas no piso da sala. Para isso precisamos dividir a área da sala pela área da cerâmica. Antes da divisão precisamos igualar as unidades de área, 1600 cm² é igual a 0,16 m². Portanto,
96 : 0,16 ~ 600 peças.

Agora basta multiplicarmos a área em negrito da cerâmica pelo número de peças que serão gastas no revestimento da sala.

600 * 344 = 206 400 cm² ou 20,64 m²

Portanto, após revestida a sala, a área em negrito corresponderá a 20,64 m².
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Geometria espacial

Geométria espacial III

Geométria espacial II

Geometria espacial

Geométria Espacial

Geométria Espacial

Geométria Espacial

Geométria Espacial apostila

Geometria molecular Distribuição espacial dos átomos em uma molécula

Para entender o conceito básico da geometria molecular, podemos partir de uma analogia bastante simples, com algumas observações do mundo macroscópico. Sempre que tentamos agrupar aleatoriamente objetos materiais sólidos de determinado formato, notamos que há uma relação direta entre o formato do objeto e o formato final do agrupamento.

Assim, quando jogamos esferas em uma caixa, por exemplo, elas tendem a deslizar umas sobre as outras e assumir uma configuração final organizada, adequada ao formato da caixa.

Se na mesma caixa jogarmos palitos de fósforo, teremos no final um empilhamento caótico, possivelmente uma pirâmide deformada, sem contornos definidos. Com as moléculas acontece coisa semelhante, só que acrescida de um fator que falta às esferas e fósforos do exemplo.

Elétrons e zonas de repulsão
Quando dois ou mais átomos se unem para formar uma molécula, suas eletrosferas entram em contato e o formato de seus orbitais (esféricos ou elípticos) influenciará o formato final da ligação. Só que, neste caso, o formato não é o único fator de influência, já que, ao contrário de nossas esferas e fósforos, as eletrosferas são compostas de elétrons, partículas eletricamente carregadas.

Como os elétrons têm carga negativa, se repelem entre si. Esta repulsão eletrostática influencia de modo definitivo a geometria molecular, ou seja, o formato do agrupamento de átomos que constitui a molécula. Este fator de influência das cargas elétricas negativas dos elétrons na disposição geométrica da molécula é chamado de zonas de repulsão.

Uma zona de repulsão se cria em torno de uma ligação molecular, ou seja, nas vizinhanças dos elétrons compartilhados pelos átomos que formam a molécula.

O efeito das zonas de repulsão tende a formar três disposições geométricas básicas em um molécula apolar (aquela na qual os elétrons não se concentram em pólos): a linear, a triangular plana e a tetraédrica, conforme as três figuras a seguir:

Disposição geométrica linear. Os átomos se posicionam em linha.

Disposição geométrica triangular plana. Os átomos formam um triângulo eqüilátero.

Disposição geométrica tetraédrica. Formato de tetraedro (pirâmide triangular).


Para se determinar a disposição geométrica de uma molécula, basta seguir duas regras simples:

1) Escrever a fórmula estrutural;
2) Identificar o número de ligações atômicas, que é o mesmo número de zonas de repulsão;

Se a molécula tiver até duas zonas de repulsão, a geometria será linear. Se tiver três, será triangular plana e se tiver quatro será tetraédrica.

Vejamos alguns exemplos:

1) Molécula de Dióxido de Carbono (CO2)
Fórmula estrutural:



Note que o átomo de carbono estabelece duas duplas ligações, uma dupla ligação com cada átomo de oxigênio. A molécula de CO2 também pode ser representada conforme abaixo:


Se a molécula possui duas duplas ligações, possui também duas zonas de repulsão, que tendem a se afastar uma da outra, fazendo com que a molécula assuma a disposição geométrica linear, conforme a seguinte figura:

Representação esquemática da molécula de dióxido de carbono, que apresenta geometria linear.


2) Molécula de Trifluoreto de Boro (BF3)
Fórmula estrutural:



Como vemos, o átomo de boro forma três ligações simples, uma com cada átomo de flúor. Assim temos três zonas de repulsão e a geometria molecular é triangular plana, conforme a figura:


Representação esquemática da geometria triangular plana do Trifluoreto de Boro (BF3)


3): Molécula de Metano (CH4)
Fórmula estrutural:


O carbono estabelece quatro ligações simples, uma com cada átomo de hidrogênio, logo temos quatro zonas de repulsão e a geometria molecular é tetraédrica, conforme figura abaixo:

Representação esquemática da molécula de Metano, de geometria tetraédrica.


A geometria é uma ferramenta preciosa para entendermos o universo. Ela nos ajuda tanto a descrever a grandeza cósmica das órbitas planetárias quanto nos auxilia na visão do inimaginavelmente pequeno das formas das moléculas.

Um excelente lembrete de que as disciplinas do conhecimento podem ser separadas para melhor administração de currículos escolares, mas que todas devem ser integradas na construção individual do conhecimento.
*Carlos Roberto de Lana é professor e engenheiro químico.

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