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domingo, 29 de maio de 2016

Progressão aritmetica

Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA


Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br  
extraído do http://jmpmat8.blogspot.com/

PROGRESSÃO ARITIMÉTICA



DEFINÇÃO
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.
Podemos, então, dizer que:

Progressão aritmética é a sequência de números onde, a partir do primeiro termo,todos são obtidos somando uma constante chamada razão.



São exemplos de PA:

• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0

Notação

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)
Onde:
a1= primeiro termo
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo
n = número de termos( se for uma PA finita )
r = razão

Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1 = 5
an = a6 = 25
n = 6
r = 4


Classificação

QUANTO A RAZAO:

• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente

• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
Toda PA de razão negativa é decrescente.

• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.


QUANTO AO NÚMERO DE TERMOS:

• • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.
Toda PA de n° de termos finito é limitada.

• • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2
Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.



PROPRIEDADES

P1:Três termos consecutivos

Numa PA, qualquer termo,a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.

Exemplo:

Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:

4 + 12/ 2 = 8
8 + 16 / 2 = 12
20 + 28 / 2 = 24


P2: Termo Médio

Numa PA de números impares nos dois extremos, o termo do meio (médio)é a média artmética do primeiro termos e do ultimo


Exemplo:
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.

3 + 21 / 2 = 12


P3: Termos Eqüidistantes

A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos


Exemplo:
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).

7 e 3
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31
15 e 19




Termo Geral

Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:

PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)


PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )

Portanto, o termo geral será:

an= a1+(n-1)r



Exercícios Resolvidos

1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).

Resolução:
a1=3
a2=9
r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6
(a1, a2, a3, a4,... )


Então:
a4 = a1 + r + r + r
a4 = a1 + 3r
a4 = 3 + 3.6
a4 = 3+18
a4 = 21

com a formula do termo geral:

an = a1 + (n - 1 ) r
a4= 3 + (4 - 1) 6
a4 = 3 + 3.6
a4 = 9 + 18
a4 = 21

2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3.

Resolução:
a3 = 8
r = -3
(a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )



Então:
a8 = a3 + r + r + r + r + r
a8 = a3 + 5r
a8 = 8 + 5.-3
a8 = 8 - 15
a8 = - 7

com a formula do termo geral :

an = a1 + (n -1)r
a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razão é negativa a PA é decrescente sendo a1 = 15
a8 = 15 + (-21)
a8 = -7


3. 3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18.
Resolução:
Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que:
a1 = 2
an = a5 = 18
n = 2 + 3 = 5
Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então:
a5 = a1 + r + r + r + r
a5 = a1 + 4r
18 = 2 + 4r
16 = 4r
r = 16/4
r = 4
Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18)

Soma dos Termos de uma PA finita


Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20).
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe:


a1+a10 = 2 + 20 = 22
a2+a9 = 4 + 18 = 22
a3+a8 = 6 + 16 = 22
a4+a7 =8 + 14 = 22
a5+a6 = 10 + 12 = 22

Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ).
E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faríamos?
Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050.

Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:

sn=(a1 + an)n/2



Exercícios Resolvidos

1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).
Resolução:
a1 = 2
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50):
a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198

Aplicando a fórmula temos:
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000

2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?

Resolução:
PA = (20, 17,14,...)
a1 = 20
r = a2 – a1 = 17 - 20 = -3

Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5):
a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8

Aplicando a fórmula temos:
S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70
Logo ele percorreu em 5 horas 70 km.

EXERCICIOS

1) Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88)

2) Qual é o centésimo número natural par? (R:198)

3) Ache o sexagésimo número natural ímpar (R:119)

4) Numa PA de razão 5 o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44? (R:9ª)

5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157)

6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....) (R:-4360)

7) Numa progressão aritmética, a19=70 e a razão é 7 determine:
---a)O primeiro termo (R:-56)
---b)O décimo termo (R:7)
---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210)

8) O vigésimo termo da Progressão Aritmética , 3, 8, 13, 18 .é
obs: dados an= a1 + (n - 1)r
a) 63
b) 74
c) 87
d) 98 (X)
e) 104

9)Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) então o valor de x é
a) -16 (X)b) -14
c) -18
d) -12
e) -20

10) Achar o 14º termo da PA (3,10,17,.....)(R:94)

11) Escrever os três primeiros termos de uma PA de razão 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21)

12)Determine a localização do número 22 na PA (82,76,70,....) (R:11)

13) Os termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) são x; 10; 12. Podemos concluir que x vale
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8 (X)

Gráfico de uma Função do 1º grau

Toda função definida por f(x) = ax + b, com a e b pertencentes aos reais e a 0 é considerada uma função do 1º grau e possui representação gráfica no plano cartesiano.
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta podendo ser crescente ou decrescente.

Construa uma tabela com duas colunas, na primeira coloque valores de x (domínio) e na segunda os valores de f(x) (imagem da função). Marque no plano cartesiano os pares ordenados (x,y), depois trace a reta da função.

Traçando o gráfico de uma função do 1º grau crescente. (a > 0)



Traçando o gráfico de uma função do 1º grau decrescente. (a < 0)

f(x) = -2x + 3


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Progressão Aritmética - Exercícios resolvidos

Progressão Aritmética - Exercícios resolvidos

01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:



I. 3, 7, 11, ...

II. 2, 6, 18, ...

III. 2, 5, 10, 17, ...



O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:



a) 15, 36 e 24

b) 15, 54 e 24

c) 15, 54 e 26

d) 17, 54 e 26

e) 17, 72 e 26



RESPOSTA: C



02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:



a) 4

b) 7

c) 15

d) 31

e) 42



RESPOSTA: D



03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.



RESOLUÇÃO: a1 = 57



04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5.



RESOLUÇÃO: a5 = 15



05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.



RESOLUÇÃO:(2; 7; 12; 17; ...)



06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem.



RESOLUÇÃO: x = 4



07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n.



RESOLUÇÃO: n = 6 e a6 = 17



08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:



a) 18,88

b) 9,5644

c) 9,5674

d) 18,9

e) 21,3



RESPOSTA: A



09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:



a) 5870

b) 12985

c) 2100 . 399

d) 2100 . 379

e) 1050 . 379



RESPOSTA: E



10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale:



a) 18

b) 90

c) 8

d) 100

e) 9



RESPOSTA: A

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Interpolação de meios aritméticos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
 www.accbarrosogestar.wordpress.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Interpolação de meios aritméticos

Marcelo Rigonatto


Progressão aritmética
As progressões apresentam aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, sendo fundamentais para compreensão de vários fenômenos da natureza e também sociais. A progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando o termo anterior a uma constante r, denominada de razão.

Interpolar significa “colocar entre”. Interpolar meios aritméticos entre dois números dados é acrescentar números entre estes que são conhecidos, de forma que a sequência numérica formada seja uma P.A. Para realizar a interpolação aritmética é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.A.
an = a1 + (n-1)∙r
Onde,

r → é a razão da P.A.
a1 → é o primeiro termo da P.A.
n → é o número de termos da P.A.
an → é o último termo da P.A.

Vejamos alguns exemplos sobre interpolação aritmética.

Exemplo 1. Interpole 7 meios aritméticos entre 6 e 46.

Solução: Interpolar 7 meios aritméticos entre 6 e 46 é acrescentar 7 números entre 6 e 46 para que a sequência formada seja uma P.A.

(6, _, _, _, _, _, _, _, 46)

Note que teremos uma P.A. com 9 termos em que o primeiro termo é 6 e o último é 46. Assim, segue que:

a1 = 6
n = 9
a9 = 46

Para determinarmos os termos que deverão ficar entre 6 e 46 é necessário determinar a razão da P.A. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral.

Encontrado o valor da razão, fica fácil determinar os demais elementos da sequência.

a2 = a1 + r = 6 + 5 = 11
a3 = a2 + r = 11 + 5 = 16
a4 = a3 + r = 16 + 5 = 21
a5 = a4 + r = 21 + 5 = 26
a6 = a5 + r = 26 + 5 = 31
a7 = a6 + r = 31 + 5 = 36
a8 = a7 + r = 36 + 5 = 41

Dessa forma, está completa a interpolação dos 7 meios aritméticos entre 6 e 46, formando a seguinte P.A:

(6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46)

Exemplo 2. Numa progressão aritmética, a1 = 120 e a11 = 10. Determine os meios aritméticos existentes entre a1 e a11.

Solução: Devemos obter os números existentes entre 120 e 10 para que a sequência obtida seja uma P.A.

(120, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 10)

Precisamos conhecer a razão dessa P.A.

Temos:

a1 = 120
a11 = 10
n = 11

Segue que:

Conhecido o valor da razão, basta determinar os demais termos da sequência:

a2 = a1 + r = 120 + (– 11) = 120 – 11 = 109
a3 = a2 + r = 109 + (– 11) = 109 – 11 = 98
a4 = a3 + r = 98 – 11 = 87
a5 = a4 + r = 87 – 11 = 76
a6 = a5 + r = 76 – 11 = 65
a7 = a6 + r = 65 – 11 = 54
a8 = a7 + r = 54 – 11 = 43
a9 = a8 + r = 43 – 11 = 32
a10 = a9 + r = 32 – 11 = 21

Portanto, obtemos a P.A:

(120, 109, 98, 87, 76, 65, 54, 43, 32, 21, 10)

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Considere (a1, a2, a3, ..., an) como sendo uma P.A. de razão r. A soma dos n primeiros termos dessa P.A. será dada por:

Onde,

a1 → é o primeiro termo da P.A.
n → é o número de termos a serem somados
an → é o último termo a ser somado

Vamos fazer alguns exemplos para entendimento da fórmula.

Exemplo 1. Determine a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (4, 8, 12, 16, ...).
Solução: Temos que
a1 = 4
r = 16 – 12 = 12 – 8 = 8 – 4 = 4
n = 20
a20 = ?
S20 = ?

Note que para calcular a soma dos 20 primeiros termos da P.A. precisamos conhecer o 20º termo (a20).
Para encontrar o valor de a20, vamos utilizar a fórmula do termo geral da P.A.

Exemplo 2. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (-14, -10, -6, ...).
Solução: Temos que
a1 = -14
r = -6 – (-10) = -6 + 10 = 4
n = 15
a15 = ?
S15 = ?
Primeiro vamos determinar o valor de a15.

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Progressão Aritmética

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br ; http://accbarrosogestar.blogspot.com.br e  HTTP://accbarroso60.wordpress.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

P.A.: Progressão Aritmética

Marcos Noé


P.A
A sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética (PA). Esse valor constante é chamado de razão (r) da P.A.
Observe as Progressões Aritméticas a seguir:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ....), temos razão (r) igual à 2, pois 4 – 2 = 2.
(-2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, ...), temos razão (r) igual à 4, pois 6 – 2 = 4.
(21, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, ...), temos razão (r) igual à –2, pois 19 – 21 = –2.

Podemos classificar uma P.A. de acordo com a sua razão, se:

r > 0 , dizemos que a P.A. é crescente.
r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
r = 0, P.A. constante, todos os termos são iguais.


Termo Geral de uma P.A.

Para obtermos qualquer termo de uma P.A. conhecendo o 1º termo (a1) e a razão (r) utilizamos a seguinte expressão matemática:




Através dessa expressão podemos escrever qualquer termo de uma P.A., veja:

a2 = a1 + r
a3 = a1 + 2r
a8 = a1+ 7r
a12 = a1 + 11r
a100 = a1 + 99r
a51 = a1 + 50r

Exemplo 1

Determine o 12º termo da P.A. (4, 9, 14, 19, 24, 29, ...).

Dados:
a1 = 4
r = 9 – 4 = 5
an = a1 + (n – 1)*r
a12 = 4 + (12 – 1)*5
a12 = 4 + 11*5
a12 = 4 + 55
a12 = 59

Exemplo 2

Dada a P.A. (18, 12, 6, 0, -6, -12, ....), calcule o 16º termo.
a1 = 18
r = 12 – 18 = – 6
an = a1 + (n – 1)*r
a16 = 18 + (16 – 1)*( –6)
a16 = 18 + 15*( –6)
a16 = 18 – 90
a16 = – 72


Soma dos Termos de uma P.A.

Podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A., para isso basta conhecermos o 1º termo (a1) e o último termo (an). Usaremos a seguinte expressão matemática:



Exemplo 3

Determine a soma dos 40 primeiros termos da seguinte P.A. (3, 6, 9, 12, 15, 18, ....).

Precisamos calcular o 40º termo:
a1 = 3
r = 3
an = a1 + (n – 1)*r
a40 = 3 + (40 – 1)*3
a40 = 3 + 39*3
a40 =3 + 117
a40 =120

Agora podemos determinar a soma dos 40 primeiros termos da P.A.

Progressão Aritmética (P.A.)

Vamos considerar as seqüências numéricas
a) (2, 4, 6, 8, 10, 12).
Veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante:
a2 - a1 = 4 - 2= 2; a3 - a2 = 6 - 4 = 2
a5 - a4 = 10 - 8 = 2 a6 - a5 = 12 - 10 = 2
b)
a2 - a1 = ;

a3 - a2 =
a4 - a3 =
a5 - a4 =
Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).
Obs.: r =0 P.A. é constante.
r>0P.A. é crescente.
r<0P.A. é decrescente.
De um modo geral temos:
Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é:
Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r
1.1 – FÓRMULA DO TREMO GERAL DE UMA P.A.
Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an) de razão r, podemos escrever:
Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:
a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n-1).r
Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.:
an = a1 + (n - 1)

Prof. Júlio Oliveira
Nota Importante:
Quando procuramos uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.

Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)
Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y =
Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)Prof. Júlio Oliveira

1.2 – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma P.A. de k+2 termos, cujos os extremos são a1 e an.
Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.
Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:
a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.

an = a1 + (n-1).r r =

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

1.3 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.(Sn)
Vamos considerar a P.A.
(a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1).
Agora vamos escrevê-la de uma outra forma:
(an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2).
Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.
Somando (1) + (2), vem:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1)
Observe que cada parênteses representa a soma dos extremos da P.A. , portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an)
n - vezes
2Sn = que é a soma dos n termos de uma P.A.
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Pontos de Intersecção entre Funções

Ao calcularmos os pontos de intersecção entre duas funções, estamos simplesmente calculando os valores para x e y que satisfazem simultaneamente as duas funções.

Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 1
Dada a função y = x + 1 e y = 2x – 1, iremos calcular o ponto de intersecção das funções.

Resolução:
Temos duas funções do 1º grau, é importante lembrar que a representação de uma função do 1º grau no plano cartesiano é uma reta.

Vamos igualar as funções e calcular o valor da variável x:

x + 1 = 2x – 1
x – 2x = – 1 – 1
–x = – 2
x = 2

y = x + 1
y = 2 + 1
y = 3
y = 2x – 1
y = 2 * 2 – 1
y = 3

Podemos notar que o ponto de intersecção das retas y = x + 1 e y = 2x – 1 é o ponto que possui coordenadas (2, 3).

Representação no Gráfico:

Exemplo 2
Quais os pontos de intersecção entre as funções y = 2x e y = – x2 + 4x ?

Igualando as duas equações:

– x² + 2x = 2x
– x² + 4x – 2x = 0
– x² + 2x = 0 * (-1)
x² – 2x = 0

x(x – 2) = 0
x’ = 0
x” = 2

Para x’ = 0
y = 2x
y = 2*0
y = 0
y = – x2 + 4x
y = 0

Para x” = 2
y = 2x
y = 2*2
y = 4
y = – x² + 4x
y = – (2)² + 4*2
y = –4 + 8
y = 4
Logo, os pontos de intersecção são (0,0) e (2,4).

Representação no gráfico:

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Função de 1º grau

A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de uma reta só poderá ser utilizada por retas não-verticais, ou seja, retas onde sua inclinação é maior ou igual a 0° e menor que 180°, sendo diferente de 90°.

Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do coeficiente angular de uma reta.

Considere os pontos A(xA, yA) e B(yB, yB), esses formam uma reta t no plano cartesiano de inclinação α:



Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A paralelo ao eixo Ox formamos um triângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta.




Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos como cateto oposto a yB – yA e cateto adjacente xB – xA.

Sabendo que:

• O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.
• A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente.

Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será calculado através da seguinte fórmula:

m = tg α = yB – yA
xB – xA

ou

m = ∆y
∆x

Função de 1º grau e inversa

Toda função do 1º grau possui a seguinte lei de formação: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse modelo de função contribui na elaboração e resolução de situações problemas cotidianas. Através de exemplos aplicados mostraremos a importância dos estudos relacionados às funções do 1º grau.

Exemplo 1

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida. Qual o custo de produção de 10.000 peças?
Quantas peças podem ser produzidas com R$ 20.000,00?

Lei de formação da função
Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20.
y = 1,2x + 200

Custo para produção de 10.000
y = 1,2*10.000 + 200
y = 12.000 + 200
y = 12.200
O custo para produção de 10.000 peças é de R$ 12.200,00.

Número de peças que podem ser produzidas com R$ 20.000,00
1,2x + 200 = 20.000
1,2x = 20.000 – 200
1,2x = 19.800
x = 19.800 / 1,2
x = 16.500
Serão produzidas 16.500 peças

Exemplo 2

Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais:

Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Analise os planos no intuito de demonstrar em quais condições um ou outro é mais vantajoso.

Função do plano A: y = 20x + 110
Função do plano B: y = 15x + 130

Momento em que os planos são exatamente iguais: A = B
20x + 110 = 15x + 130
20x – 15x = 130 – 110
5x = 20
x = 20/5
x = 4

Custo do plano A menor que o custo do plano B: A < B.
20x + 110 < 15x + 130
20x – 15x < 130 – 110
5x < 20
x < 20/5
x < 4

Custo do plano B menor que o custo do plano A: B < A.
15x + 130 < 20x + 110
15x – 20x < 110 – 130
– 5x < – 20 (-1)
x > 20/5
x > 4

Se o cliente realizar quatro consultas por mês, ele pode optar por qualquer plano.
Se o número de consultas for maior que quatro, o plano B possui um custo menor.
Caso o número de consultas seja menor que quatro, o plano A possui um custo menor.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números: a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no plano cartesiano. Observe:

Função crescente Função decrescente




Função crescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes em y também aumentam.

Função decrescente: à medida que os valores de x aumentam, os valores correspondentes de y diminuem.

Exemplos de funções do 1º grau

y = 4x + 2, a = 4 e b = 2

y = 5x – 9, a = 5 e b = –9

y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10

y = 3x, a = 3 e b = 0

y = – 6x – 1, a = – 6 e b = – 1

Raiz ou zero de uma função do 1º grau

Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar
y = 0. De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.

Vamos determinar a raiz das funções a seguir:

y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2


y = – 2x + 10
y = 0
– 2x + 10 = 0
– 2x = – 10 (–1)
2x = 10
x = 10/2
x = 5
A reta representada pela função y = – 2x + 10 intersecta o eixo x no seguinte valor: 5
Dado os conjuntos A = {–2,–1,0,1,2} e B = {3, 4, 5, 6, 7} e a função A→B definida pela fórmula f(x) = x + 5, veja o diagrama dessa função abaixo:


Então: f = { (–2, 3) ; (–1, 4) ; (0, 5) ; (1, 6) ; (2, 7)}

Essa função é bijetora, pois cada elemento do domínio está ligado com um elemento diferente no conjunto imagem. Assim, podemos dizer que essa função, por ser bijetora, admite inversa.

A sua função inversa será indicada por f –1: B→A, e será preciso realizar a troca entre x e y na função y = x + 5, dessa forma temos: x = y + 5 → –y = –x + 5 → y = x – 5, portanto f –1(x) = x – 5.
Veja o diagrama abaixo:


Então: f –1(x)= {(3, –2); (4, –1) ; (5, 0); (6, 1) ; (7, 2)}

O que é domínio na função f vira imagem na f –1(x)e vice e versa.



Dada uma sentença de uma função y = f(x), para encontrar a sua inversa é preciso seguir alguns passos. Observe:

Exemplo 1

Dada a função f(x) = 3x -5, para determinarmos a sua inversa f –1(x) precisamos fazer uma troca x e y na expressão y = 3x – 5. Assim teremos x = 3y – 5, logo:

x = 3y – 5
–3y = –x –5 (multiplicar por –1)
3y = x + 5
y = (x + 5)/3

Portanto, a função f(x) = 3x -5 terá inversa igual a f –1(x) = (x + 5)/3.



Exemplo 2

Dada a função f(x) = x² a sua inversa será:

Realizando a troca entre x e y na expressão y = x² → x = y², logo:

x = y²
√x = √y²
√x = y
y = √x

A função f(x) = x² terá inversa f –1(x) = √x


Exemplo 3

Determine a inversa da função f(x) = (2x+3)/(3x–5), para x ≠ 5/3.

Realizando a troca entre x e y na expressão y = (2x+3)/(3x–5) → x = (2y+3)/(3y–5), logo:

x = (2y+3)/(3y–5)
x*(3y–5) = 2y + 3
3yx – 5x = 2y + 3
3yx – 2y = 5x + 3
y(3x – 2) = 5x + 3
y = (5x+3)/(3x–2), para x ≠ 2/3.
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Progressão Aritmética


Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
Extraído de http://www.alunosonline.com.br
Definição: uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo anterior é sempre a mesma (constante). A essa constante dá-se o nome de razão da P.A., e é representada por r.

A sequência (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) é um exemplo de P.A. Vejamos:

2 – 0 = 2; 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2;

Observe que a diferença entre qualquer termo e o anterior a ele é sempre 2. Portanto, a sequência é uma P.A. de razão r = 2.

Outros exemplos:

a) (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... ) é uma P.A. de razão r = 5
b) (20, 17, 14, 11, 8, ...) é uma P.A. de razão r = – 3
c) (7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0

As Progressões Aritméticas são classificadas de acordo com o sinal da razão.

r > 0 → P.A. crescente
r < 0 → P.A. decrescente
r = 0 → P.A. constante

Agora vamos imaginar que o problema seja determinar o 100º termo de uma P.A., conhecendo o 1º termo e a razão da mesma. Intuitivamente a ideia seria adicionar a razão ao primeiro termo para obter o segundo e assim sucessivamente até encontrar o 100º termo. Esse processo é muito trabalhoso. No entanto, há uma fórmula que nos permite obter qualquer termo de uma P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão. É a fórmula do termo geral da P.A.

Termo geral da P.A.

Seja a1 o primeiro termo de uma P.A. e r a sua razão. Temos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
a5 – a4 = r → a5 = a4 + r → a5 = a1 + 4r

Generalizando, obtemos:
an = a1 + (n - 1)∙r, que é a fórmula do termo geral da P.A.

Exemplo 1. Determine o 100º termo de uma P.A. de razão 3 sabendo que o primeiro termo é 2.

Solução: temos que

a1 = 2; r = 3; a100 = ?

Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:

a100 = 2 + (100 - 1)∙3
a100 = 2 + 99∙3
a100 = 2 + 297 = 299

Portanto, o 100º termo da P.A. é 299.

Exemplo 2. Calcule o 50º termo da P.A. ( -3, -7, -11, -15, ...)

Solução: temos que

a1 = -3; r = a2 – a1 = -7 – (-3) = -7 + 3 = -4; a50 = ?

Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:

a50 = -3 + (50 - 1)∙(-4)
a50 = -3 + 49∙(-4)
a50 = -3 - 196 = -199
Exemplo 3. Qual é o 33º múltiplo de 7?

Solução: sabemos que o 1º múltiplo de qualquer número é zero. Assim, os primeiros termos dessa P.A. são (0, 7, 14, 21, ...).

Dessa forma, temos que

a1 = 0; r = 7; a33 = ?

Pela fórmula do termo geral, obtemos:

a33 = 0 + (33 - 1)∙7
a33 = 0 + 32∙7 = 224

Função do 1º Grau

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
www.accbarrosogestar.wordpress.com
Gráfico da função do 1º grau:
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Gráficos crescente e decrescente respectivamente

Raiz ou zero da função do 1º grau

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau

Observe os gráficos

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

Progressão aritmetica


Sucessões ou Seqüências

DEFINIÇÃO

Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada.

Para representar uma seqüência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses.

É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma seqüência altera a própria seqüência.

Exemplos:

a) O conjunto (janeiro, fevereiro, março, abril... dezembro) é chamado seqüência ou sucessão dos meses do ano.

b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado seqüência ou sucessão dos números naturais.

SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS

São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma seqüência numérica pode ser finita ou infinita.

Exemplos:

a) (3, 6, 9, 12) é uma seqüência finita.
b) (5, 10, 15...) é uma seqüência infinita.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA

A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma:

(a1, a2, a3, ...an-1, an), em que:

· a1 é o primeiro termo;

· a2 é o segundo termo;

· an é o enésimo termo.

Aplicação

Dada a seqüência (2, 4, 6, 8, 10), calcular:

a) a3 b) a2+ 3a1

Solução:

a) a3 é o terceiro termo; logo, a3 = 6.

b) a2+ 3a1 = 4 + 3.2 = 4 + 6 = 10.


PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. A.)

É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r (razão).

Exemplos:

a) (3, 5, 7, 9...)

5 = 3 + 2

7 = 5 + 2 →2 é a razão da progressão aritmética.

9 = 7 + 2
b) (5, 10, 15, 20)

10 = 5 + 5

15 = 10 + 5 →5 é a razão da progressão aritmética.

20 = 15 + 5

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Extraido do colegioweb.com.br

Gráfico da Função do 1º Grau

Gráfico da Função do 1º Grau

Marcos Noé


A reta como gráfico da função
Na Matemática, consideramos função como uma relação de dependência entre duas grandezas. As relações que envolvem crescimentos e decrescimentos lineares são representadas por uma função do 1º grau do tipo y = ax + b, com a e b números reais e b ≠ 0. Nessa função, os pares ordenados (x, y) são denominados domínio e imagem respectivamente. A representação desse modelo de função no plano cartesiano é dada por uma reta crescente ou decrescente. A posição da reta no plano depende do valor do coeficiente angular a, caso ele seja positivo (a > 0), a reta é crescente; e se for negativo (a < 0), a reta é decrescente. O coeficiente representado por b é denominado linear e indica em que ponto do eixo y (ordenada) a reta passa.

O gráfico da função é construído no plano de coordenadas cartesianas, onde cada valor de x (eixo das abscissas) possui uma representação em y (eixo das ordenadas).




Função do 1º grau crescente – (a > 0)

A função y = 2x + 5 é representada por uma reta crescente, pois o coeficiente angular é positivo, possuindo valor igual a 2. Veja o gráfico:



Na função crescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y também aumentam; ou à medida que os valores de x diminuem, os valores de y diminuem.


Função do 1º grau decrescente – (a < 0)

A função y = –2x +3 é representada por uma reta decrescente, pois o coeficiente angular é negativo, possuindo valor igual a –2. Veja o gráfico:





Na função decrescente, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y diminuem; ou, à medida que os valores de x diminuem, os valores de y aumentam.

Progressão Aritmética

Sucessões ou Seqüências

DEFINIÇÃO

Conjuntos de objetos de qualquer natureza, organizados ou escritos numa ordem bem determinada.

Para representar uma seqüência, escrevemos seus elementos, ou termos, entre parênteses.

É importante destacar que, ao contrário do que ocorre num conjunto, qualquer alteração na ordem dos elementos de uma seqüência altera a própria seqüência.

Exemplos:

a) O conjunto (janeiro, fevereiro, março, abril... dezembro) é chamado seqüência ou sucessão dos meses do ano.

b) O conjunto ordenado (0, 1, 2, 3, 4, 5...) é chamado seqüência ou sucessão dos números naturais.

SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS

São conjuntos de números reais dispostos numa certa ordem. Uma seqüência numérica pode ser finita ou infinita.

Exemplos:

a) (3, 6, 9, 12) é uma seqüência finita.
b) (5, 10, 15...) é uma seqüência infinita.
REPRESENTAÇÃO DE UMA SEQÜÊNCIA

A representação matemática de uma sucessão é dada da seguinte forma:

(a1, a2, a3, ...an-1, an), em que:

· a1 é o primeiro termo;

· a2 é o segundo termo;

· an é o enésimo termo.

Aplicação

Dada a seqüência (2, 4, 6, 8, 10), calcular:

a) a3 b) a2+ 3a1

Solução:

a) a3 é o terceiro termo; logo, a3 = 6.

b) a2+ 3a1 = 4 + 3.2 = 4 + 6 = 10.


PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P. A.)

É toda seqüência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor com um número constante r (razão).

Exemplos:

a) (3, 5, 7, 9...)

5 = 3 + 2

7 = 5 + 2 →2 é a razão da progressão aritmética.

9 = 7 + 2
b) (5, 10, 15, 20)

10 = 5 + 5

15 = 10 + 5 →5 é a razão da progressão aritmética.

20 = 15 + 5

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Progressão Aritmética





Definição: uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo anterior é sempre a mesma (constante). A essa constante dá-se o nome de razão da P.A., e é representada por r.

A sequência (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) é um exemplo de P.A. Vejamos:

2 – 0 = 2; 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2;

Observe que a diferença entre qualquer termo e o anterior a ele é sempre 2. Portanto, a sequência é uma P.A. de razão r = 2.

Outros exemplos:

a) (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... ) é uma P.A. de razão r = 5
b) (20, 17, 14, 11, 8, ...) é uma P.A. de razão r = – 3
c) (7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0

As Progressões Aritméticas são classificadas de acordo com o sinal da razão.

r > 0 → P.A. crescente
r < 0 → P.A. decrescente
r = 0 → P.A. constante

Agora vamos imaginar que o problema seja determinar o 100º termo de uma P.A., conhecendo o 1º termo e a razão da mesma. Intuitivamente a ideia seria adicionar a razão ao primeiro termo para obter o segundo e assim sucessivamente até encontrar o 100º termo. Esse processo é muito trabalhoso. No entanto, há uma fórmula que nos permite obter qualquer termo de uma P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão. É a fórmula do termo geral da P.A.

Termo geral da P.A.

Seja a1 o primeiro termo de uma P.A. e r a sua razão. Temos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
a5 – a4 = r → a5 = a4 + r → a5 = a1 + 4r

Generalizando, obtemos:
an = a1 + (n - 1)∙r, que é a fórmula do termo geral da P.A.

Exemplo 1. Determine o 100º termo de uma P.A. de razão 3 sabendo que o primeiro termo é 2.

Solução: temos que

a1 = 2; r = 3; a100 = ?

Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:

a100 = 2 + (100 - 1)∙3
a100 = 2 + 99∙3
a100 = 2 + 297 = 299

Portanto, o 100º termo da P.A. é 299.

Exemplo 2. Calcule o 50º termo da P.A. ( -3, -7, -11, -15, ...)

Solução: temos que

a1 = -3; r = a2 – a1 = -7 – (-3) = -7 + 3 = -4; a50 = ?

Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:

a50 = -3 + (50 - 1)∙(-4)
a50 = -3 + 49∙(-4)
a50 = -3 - 196 = -199
Exemplo 3. Qual é o 33º múltiplo de 7?

Solução: sabemos que o 1º múltiplo de qualquer número é zero. Assim, os primeiros termos dessa P.A. são (0, 7, 14, 21, ...).

Dessa forma, temos que

a1 = 0; r = 7; a33 = ?

Pela fórmula do termo geral, obtemos:

a33 = 0 + (33 - 1)∙7
a33 = 0 + 32∙7 = 224
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Progressão Aritmética

Progressão Aritmética é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante denominada de razão. Por exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, a razão é igual a 3, pois:

2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 + 3 = 11
11 + 3 = 14
14 + 3 = 17
17 + 3 = 20
20 + 3 = 23

Em uma progressão aritmética temos que:

a1 (primeiro elemento)
r (razão)
an (representa o termo a ser procurado)
n (número de elementos da progressão)

No cálculo de qualquer um dos termos de uma PA, utilizamos a seguinte expressão matemática:

an = a1 + (n – 1) * r

Exemplo 1

Dada a progressão aritmética (3, 7, 11, 15, 19, 23,...), determine o 20º termo.

Razão

r = a2 – a1
r = 7 – 3
r = 4

Termo geral

an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 3 + (20 – 1) * 4
a20 = 3 + 19 * 4
a20 = 3 + 76
a20 = 79

O vigésimo termo da PA é 79.

Exemplo 2

Determine o número de termos da seguinte progressão aritmética: (124, 131, 138, 145..., 572).

an = a1 + (n – 1) * r
572 = 124 + (n – 1) * 7
572 = 124 + 7n – 7
572 + 7 – 124 = 7n
455 = 7n
n = 455/7
n = 65

Exemplo 3

(EU – PA) A prefeitura de um município, preocupada com o êxodo rural, implantou um projeto de incentivo à agricultura orgânica, com previsão de três anos, para manter as pessoas no campo. Observou-se após a implantação que 12 famílias haviam sido beneficiadas no primeiro mês, 19 famílias, no segundo mês; e 26 famílias, no terceiro mês. Segundo os técnicos, a previsão é de que o número de famílias beneficiadas mensalmente aumente na mesma razão dos meses anteriores. Dentro dessas previsões, qual o número de famílias que serão beneficiadas no último mês de execução do projeto?

Duração do projeto será de 3 anos ou 36 meses (n)
Razão da PA será dada por 19 – 12 = 7

an = a1 + (n – 1) * r
a36 = 12 + (36 – 1) * 7
a36 = 12 + 35 * 7
a36 = 12 + 245
a36 = 257

O projeto municipal beneficiará 257 famílias.

Soma dos Termos de uma PA

Para determinarmos a soma dos termos de uma PA, utilizamos a seguinte expressão matemática:

Exemplo 4

Dada a PA (14, 20, 26, ...194), determine a soma de seus termos.

Determinando o número de termos

an = a1 + (n – 1) * r
194 = 14 + (n – 1) * 6
194 = 14 + 6n – 6
194 + 6 – 14 = 6n
200 – 14 = 6n
6n = 186
n = 186/6
n = 31

Soma dos termos

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Progressão aritmetica

Uma progressão aritmética (P.A) pode ser classificada em: crescente, decrescente e constante, dependendo do valor da sua razão.

Crescente

Em uma P.A crescente a razão deve ser maior que zero (positiva), assim é perceptível que os termos a partir do segundo são maiores que os seus antecessores. Exemplo:

A P.A (5, 8, 11, 14, 17) é crescente, pois sua razão é igual a r = 3, ou seja, positiva.

Decrescente

Em uma P.A decrescente a razão deve ser menor que zero (negativa), assim é perceptível que os termos a partir do segundo são menores que os seus antecessores. Exemplo:

Se invertermos a P.A crescente do exemplo anterior, ela ficaria assim: (17, 14, 11, 8, 5). Essa nova P.A é decrescente, pois sua razão é r = -3, ou seja, negativa.

Constante

Em uma P.A constante a razão deve ser igual a zero, pois a característica desse tipo de P.A é que todos os termos são iguais, por exemplo:

As progressões aritméticas (1, 1, 1, 1, 1) e (-5, -5, -5, -5) são consideradas constantes, pois suas razões são iguais a zero.

Progressão aritmetica


Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a1) e o último termo (an). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe:

Exemplo 1

Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a1=7 e a8=42.

Resolução
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:
an = a1 + (n – 1)*r
a8 = 7 + (8 – 1)*r
42 = 7 + 7r
42 – 7 = 7r
35 = 7r
r = 35/7
r = 5

A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42)


Exemplo 2

Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?
Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.
O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a1 = 104.
O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto an = 400.
De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:

an = 400
a1 = 104
r = 4
an = a1 + (n – 1)*r
400 = 104 + (n – 1)*4
400 = 104 + 4n – 4
400 + 4 – 104 = 4n
300 = 4n
n = 300 / 4
n = 75

Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.
Uma progressão aritmética (P.A) pode ser classificada em: crescente, decrescente e constante, dependendo do valor da sua razão.

Crescente

Em uma P.A crescente a razão deve ser maior que zero (positiva), assim é perceptível que os termos a partir do segundo são maiores que os seus antecessores. Exemplo:

A P.A (5, 8, 11, 14, 17) é crescente, pois sua razão é igual a r = 3, ou seja, positiva.

Decrescente

Em uma P.A decrescente a razão deve ser menor que zero (negativa), assim é perceptível que os termos a partir do segundo são menores que os seus antecessores. Exemplo:

Se invertermos a P.A crescente do exemplo anterior, ela ficaria assim: (17, 14, 11, 8, 5). Essa nova P.A é decrescente, pois sua razão é r = -3, ou seja, negativa.

Constante

Em uma P.A constante a razão deve ser igual a zero, pois a característica desse tipo de P.A é que todos os termos são iguais, por exemplo:

As progressões aritméticas (1, 1, 1, 1, 1) e (-5, -5, -5, -5) são consideradas constantes, pois suas razões são iguais a zero.
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Analisando Situações Através de Funções do 1º Grau

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

Toda função do 1º grau possui a seguinte lei de formação: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse modelo de função contribui na elaboração e resolução de situações problemas cotidianas. Através de exemplos aplicados mostraremos a importância dos estudos relacionados às funções do 1º grau.

Exemplo 1

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida. Qual o custo de produção de 10.000 peças?
Quantas peças podem ser produzidas com R$ 20.000,00?

Lei de formação da função
Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20.
y = 1,2x + 200

Custo para produção de 10.000
y = 1,2*10.000 + 200
y = 12.000 + 200
y = 12.200
O custo para produção de 10.000 peças é de R$ 12.200,00.

Número de peças que podem ser produzidas com R$ 20.000,00
1,2x + 200 = 20.000
1,2x = 20.000 – 200
1,2x = 19.800
x = 19.800 / 1,2
x = 16.500
Serão produzidas 16.500 peças

Exemplo 2
Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais:

Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Analise os planos no intuito de demonstrar em quais condições um ou outro é mais vantajoso.

Função do plano A: y = 20x + 110
Função do plano B: y = 15x + 130

Momento em que os planos são exatamente iguais: A = B
20x + 110 = 15x + 130
20x – 15x = 130 – 110
5x = 20
x = 20/5
x = 4

Custo do plano A menor que o custo do plano B: A < B.
20x + 110 < 15x + 130
20x – 15x < 130 – 110
5x < 20
x < 20/5
x < 4

Custo do plano B menor que o custo do plano A: B < A.
15x + 130 < 20x + 110
15x – 20x < 110 – 130
– 5x < – 20 (-1)
x > 20/5
x > 4

Se o cliente realizar quatro consultas por mês, ele pode optar por qualquer plano.
Se o número de consultas for maior que quatro, o plano B possui um custo menor.
Caso o número de consultas seja menor que quatro, o plano A possui um custo menor.
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