Integração por Frações Parciais

Algumas integrais, cujo integrando consiste numa fração racional, ou seja, uma função do tipo:

onde p(x) e q(x) são polinômios reais com q ≠ 0, são facilmente integráveis por substituição ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode não ser facilmente calculada ou mesmo impossível por estes métodos. Neste caso, podemos decompor a fração que define o integrando em frações parciais.

O método consiste em reescrever a fração do integrando numa soma de outras frações mais simples, de modo que a integração seja necessariamente mais simples. A decomposição é feita a partir de fatoração do polinômio q(x) que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrático irredutível uma ou mais frações parciais.

Um polinômio em x é uma função da forma:

onde os coeficientes são constantes, a₀ ≠ 0 e n é um inteiro positivo que também pode ser nulo.

Sendo assim, se dois polinômios do mesmo grau são iguais, qualquer que seja o valor atribuído à variável nos dois polinômios são iguais.

Todo polinômio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da forma ax + b e fatores de segundo grau, irredutíveis, da forma ax² + bx + c.

Uma função:

onde f (x) e g (x) são polinômios, é chamada de fração racional.

Se o grau de f (x) for menor que o grau de g (x), F (x) é uma fração racional própria; caso contrário, F (x) é denominada imprópria.

Uma fração racional imprópria pode ser expressa como a soma de um polinômio e de uma fração racional própria. Assim:

Toda fração racional própria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como uma soma de frações mais simples: frações parciais, cujos denominadores são da forma:

onde n é um inteiro positivo. Podemos ter quaro casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam. Vejamos cada caso individualmente.

Caso 1 – Fatores Lineares Distintos

A cada fator linear da forma ax + b que aparece uma vez no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma fração parcial da forma:

onde A é uma constante a determinar.

Exemplo 1: Achar a integral:

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

Fazemos:

Temos então que:

ou

b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações:

Resolvendo o sistema, obtemos: A₁ = 1/4 e A₂ = –1/4.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 2 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral.

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

E pelas propriedades dos logaritmos, temos:

Exemplo 2: Achar a integral:

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

Fazemos:

Temos então que:

ou

b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações:

Resolvendo o sistema, obtemos: A₁ = –1/6 , A₂ = 3/10 e A₃ = –2/15.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 2 e x = –3. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral.

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

E pelas propriedades dos logaritmos, temos:

Caso 2 – Fatores Lineares Repetidos

A cada fator linear da forma ax + b que aparece n vezes no denominador de uma fração racional própria, corresponde a uma soma de n frações parciais da forma:

onde A₁, A₂, ..., A_n são constantes a determinar.

Exemplo 3: Achar a integral:

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

Vejam que o fator que se repete é o (x – 1), pois (x – 1)² = (x – 1)(x – 1). Como aparece duas vezes, fazemos

Temos então que:

ou

b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois métodos:

Método Geral: Observando em (3) os coeficientes das potências semelhantes de x em ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equações:

Resolvendo o sistema, obtemos: A₁ = 1/2 , A₂ = –1/2 e A₃ = 4.

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = –1 e x = 1. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

Ainda falta determinar a constante A₂. Para isso, atribuímos qualquer valor para x e substituímos os valores já determinados para A₁ e A₂. Vamos supor x = 0:

Vejam que são os mesmos valores encontrados no método geral.

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

E pelas propriedades dos logaritmos:

Exemplo 4: Achar a integral:

Veja que neste caso, o integrante é uma fração em que o numerador tem grau maior do que o denominador. Fazemos a divisão:

Fazemos:

Temos então que:

Método Abreviado: Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das frações parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores para x que anulam os denominadores dessas frações são x = 0, x = 1 e x = –2. Assim, substituímos estes valores em (2), obtendo:

c) Agora, vamos reescrever a integral como:

E pelas propriedades dos logaritmos:

Problemas para resolver em casa:

Referências:

[1] Cálculo Diferencial e Integral – Frank Ayres Jr – Coleção Schaum
[2] Cálculo II – Abílio Souza Costa Neto – FTC EAD
FONTE:http://obaricentrodamente.blogspot.com.br