· TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA : Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade. Exemplo : p Ú~ p
· CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade. Exemplo : p Ù ~ p
· CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade.
Exemplo : p ® q
· REGRAS DE INFERÊNCIA.: A fórmula a implica tautologicamente a fórmula b e indicamos a Þ bse e somente se a fórmula a®bé uma tautologia .
· EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS : As fórmulas a e b são tautologicamente equivalentes e indicamosaÛbse e somente se a fórmula a«bé uma tautologia
Exemplo : Dadas as fórmulas A: p ® (q Ù r) e B : ~(q Ù r ) ®~ p vamos verificar que A Þ B ou ainda que A / B. Basta verificar, com o uso das tabelas verdade, que A ® B é tautologia.
p q r ( p ® (q Ù r)) ®(~ (q Ù r ) ® ~ p)
Neste exemplo, A Û B pois A « B é tautologia.
As TAUTOLOGIAS são infinitas e desempenham um importante papel nos processos de dedução no Cálculo Proposicional como veremos em próximos tópicos.
FORMAS NORMAIS CONJUNTIVA E DISJUNTIVA
Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS dadas acima nos permitem transformar qualquer fórmula em uma fórmula logicamente equivalente, que não contenha os conectivos ®e « , transformando-a em uma FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) como segue:
1. substitui-se fórmulas: A® B por ~A Ú B e A « B por (~ A Ú B) Ù (~ B Ú A)
2. elimina-se a negação que precede os parênteses substituindo-se:
~(A Ù B) por ~A Ú~ B e ~(AÚ B) por ~A Ù~ B .
3. eliminam-se as negações múltiplas substituindo ~(~ A) por A.
4. elimina-se o alcance dos conectivos substituindo
para obter a FNC : A Ú (B Ù C) por (A Ú B) Ù (A Ú C)
para obter a FND : A Ù (B Ú C) por (A Ù B) Ú (A Ù C)
Deste modo, uma fórmula está em FORMA NORMAL CONJUNTIVA: FNC ou em FORMA NORMAL DISJUNTIVA: FND se, e somente se:
1. No máximo contém os conectivos~, Ù , Ú.
2. A negação ~ não tem alcance sobre os conectivos Ù e Ú .
3. Não aparecem negações sucessivas.
4. O conectivo Ú não tem alcance sobre Ù na FNC e, o conectivo Ù não tem alcance sobre Ú na FND.
Exemplos: FNC : (~ p Ú q) Ù (r Ú s Ú p)
FND : p Ú (q Ù r) Ú (~ s Ù p)
Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente à fórmula
((p Ú q) Ù~ q) ® ( r Ù q) .
PROBLEMA DE POST
Como já observamos podemos construir a tabela verdade de uma fórmula conhecidos os valores verdade das fórmulas que a compõem. O problema recíproco se coloca : para toda tabela verdade, existe uma fórmula que a determina? Este problema é conhecido como PROBLEMA DE POST (Emil Leon Post 1888-1995) e pode ser resolvido obtendo-se uma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada.
· Para se obter uma FND:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem V na última coluna;
2. Construimos para cada uma destas linhas as conjunções correspondentes;
3. Fazemos a disjunção destas conjunções obtendo uma fórmula em FND que satisfaz a tabela verdade.
Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo:
p q ?
Resposta: Fórmula obtida (p Ù q) Ú (~ p Ù~ q) FND
· Para se obter uma FNC:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na última coluna;
2. Construimos para cada uma destas linhas as disjunções correspondentes;
3. Fazemos a conjunção destas disjunções obtendo uma fórmula em FNC que satisfaz a tabela verdade.
Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo:
p q ?
Resposta: Fórmula obtida (~ p Ú q) Ù (p Ú ~ q) FNC
As FND e FNC obtidas como acima são completas ou seja, em cada disjuncto (FND) ou em cada conjuncto (FNC) todas as variáveis proposicionais estão presentes.
CELINA ABAR
| p | ~ p | p Ú ~ p | |
| 1 | V | F | V |
| 2 | F | V | V |
· CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade. Exemplo : p Ù ~ p
| p | ~ p | p Ù ~ p | |
| 1 | V | F | F |
| 2 | F | V | F |
· CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade.
Exemplo : p ® q
| p | q | p ® q | |
| 1 | V | V | |
| 2 | V | F | |
| 3 | F | V | |
| 4 | F | F |
· REGRAS DE INFERÊNCIA.: A fórmula a implica tautologicamente a fórmula b e indicamos a Þ bse e somente se a fórmula a®bé uma tautologia .
| Regras | Fórmulas Atômicas | Fórmulas Compostas | |
| Modus Ponens | MP | p Ù (p ® q) Þ q | A, A® B / B |
| Modus Tollens | MT | ~ q Ù ( p ® q ) Þ ~ p | ~ B, A® B / ~ A |
| Silogismo Hipotético | SH | (p® q) Ù ( q ® r) Þ (p ® r) | A ® B, B ® C / A ® C |
| Silogismo Disjuntivo | SD | (p Ú q) Ù ~ p Þ q | ~ A, A Ú B / B |
| Simplificação | SM | p Ù q Þ p | A Ù B / A |
| Adição | AD | p Þ p Ú q | A / A Ú B |
| Eliminação | EL | (p ® (q Ú r) ) Ù~ q Þ p ®r | ~ B , (A ® (BÚ C) / A ® C |
| Prova por Casos | CS | (p ® r) Ù ( q ® r) Þ (p Ú q) ® r | A ® C, B ® C / (A Ú B ) ® C |
| Comutativa | p Ù q Û q Ù p | p Ú q Û q Ú p |
| Associativa | (p Ù q)Ù r Û p Ù (q Ù r) | (p Ú q)Ú r Û pÚ (qÚ r) |
| Idempotente | p Ù p Û p | p Ú p Û p |
| Propriedades de V | p Ù V Û p | p Ú V Û V |
| Propriedades de F | p Ù F Û F | p Ú F Û p |
| Absorção | p Ù ( p Ú r ) Û p | p Ú (p Ù r) Û p |
| Distributivas | p Ù (q Ú r) Û (p Ù q ) Ú (p Ù r) | p Ú (q Ù r) Û (p Ú q ) Ù (p Ú r) |
| Distributivas | p ® (q Ù r) Û (p® q) Ù (p ® r) | p ® (q Ú r) Û (p® q) Ú (p ® r) |
| Leis de De Morgan | ~ (p Ù q) Û~ p Ú ~ q | ~ (p Ú q) Û~ p Ù ~ q |
| Def. implicação | p ® q Û ~p Ú q | p ® q Û ~ ( p Ù~ q) |
| Def. bicondicional | p « q Û (p ® q) Ù ( q ® p) | p « q Û (~p Ú q) Ù (~q Úp) |
| Negação | ~ (~ p) Û p | |
| Contraposição | p ® q Û ~ q ®~ p | |
| Exportação(Þ ) | Importação (Ü ) | (p Ù q) ® r Û p ® ( q ® r ) |
| Troca de Premissas | p ® (q ® r ) Û q ® ( p ®r ) |
p q r ( p ® (q Ù r)) ®(~ (q Ù r ) ® ~ p)
| V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | F | V | F |
| V | F | V | F | V | F |
| V | F | F | F | V | F |
| F | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | V | V |
| F | F | V | V | V | V |
| F | F | F | V | V | V |
As TAUTOLOGIAS são infinitas e desempenham um importante papel nos processos de dedução no Cálculo Proposicional como veremos em próximos tópicos.
FORMAS NORMAIS CONJUNTIVA E DISJUNTIVA
Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS dadas acima nos permitem transformar qualquer fórmula em uma fórmula logicamente equivalente, que não contenha os conectivos ®e « , transformando-a em uma FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) como segue:
1. substitui-se fórmulas: A® B por ~A Ú B e A « B por (~ A Ú B) Ù (~ B Ú A)
2. elimina-se a negação que precede os parênteses substituindo-se:
~(A Ù B) por ~A Ú~ B e ~(AÚ B) por ~A Ù~ B .
3. eliminam-se as negações múltiplas substituindo ~(~ A) por A.
4. elimina-se o alcance dos conectivos substituindo
para obter a FNC : A Ú (B Ù C) por (A Ú B) Ù (A Ú C)
para obter a FND : A Ù (B Ú C) por (A Ù B) Ú (A Ù C)
Deste modo, uma fórmula está em FORMA NORMAL CONJUNTIVA: FNC ou em FORMA NORMAL DISJUNTIVA: FND se, e somente se:
1. No máximo contém os conectivos~, Ù , Ú.
2. A negação ~ não tem alcance sobre os conectivos Ù e Ú .
3. Não aparecem negações sucessivas.
4. O conectivo Ú não tem alcance sobre Ù na FNC e, o conectivo Ù não tem alcance sobre Ú na FND.
Exemplos: FNC : (~ p Ú q) Ù (r Ú s Ú p)
FND : p Ú (q Ù r) Ú (~ s Ù p)
Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente à fórmula
((p Ú q) Ù~ q) ® ( r Ù q) .
| 1. | ((p Ú q) Ù ~ q) ® ( r Ù q) | Fórmula dada |
| 2. | ~ ((p Ú q) Ù~ q) Ú ( r Ù q) | 1. Def. de Implicação |
| 3. | (~ (p Ú q) Ú~~ q) Ú (r Ù q) | 2. De Morgan |
| 4. | (~ p Ù ~ q) Ú q Ú (r Ù q ) | 3. Negação e De Morgan |
| 5. | (~ p Ù ~ q) Ú q Ú (r Ù q ) | 4.FND |
| 6. | ((~ p Ú q) Ù (~ q Ú q)) Ú (r Ù q) | 5. Distributiva |
| 7. | ((~ p Ú q) Ù V) Ú (r Ù q) | 6. Tautologia |
| 8. | (~ p Ú q) Ú ( r Ù q) | 7. Propriedade de V |
| 9. | (~ p Ú q Ú r) Ù (~ p Ú q Ú q) | 8. Distributiva |
| 10. | (~ p Ú q Ú r) Ù (~ p Ú q ) | 9. Idempotente e FNC |
PROBLEMA DE POST
Como já observamos podemos construir a tabela verdade de uma fórmula conhecidos os valores verdade das fórmulas que a compõem. O problema recíproco se coloca : para toda tabela verdade, existe uma fórmula que a determina? Este problema é conhecido como PROBLEMA DE POST (Emil Leon Post 1888-1995) e pode ser resolvido obtendo-se uma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada.
· Para se obter uma FND:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem V na última coluna;
2. Construimos para cada uma destas linhas as conjunções correspondentes;
3. Fazemos a disjunção destas conjunções obtendo uma fórmula em FND que satisfaz a tabela verdade.
Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo:
p q ?
| V | V | V | (p Ù q) |
| V | F | F | |
| F | V | F | |
| F | F | V | (~ p Ù ~ q) |
· Para se obter uma FNC:
1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na última coluna;
2. Construimos para cada uma destas linhas as disjunções correspondentes;
3. Fazemos a conjunção destas disjunções obtendo uma fórmula em FNC que satisfaz a tabela verdade.
Exemplo: Determine uma fórmula que satisfaça a tabela verdade abaixo:
p q ?
| V | V | V | |
| V | F | F | ~ p Ú q |
| F | V | F | p Ú ~ q |
| F | F | V |
As FND e FNC obtidas como acima são completas ou seja, em cada disjuncto (FND) ou em cada conjuncto (FNC) todas as variáveis proposicionais estão presentes.
CELINA ABAR
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