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quarta-feira, 7 de junho de 2017

Polinômios

Como P(x) é divisível por (x – 1) e o quociente nesta divisão é divisível por (x – 2), concluímos que P(x) é divisível por (x – 1) · (x – 2).
2a) No caso particular, se b = a, as divisões sucessivas permitem verificar se P(x) é divisível por (x – a)2, (x – a)3, etc.
Exemplo
Calcular a e b para que
P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.
Resolução
Dividimos P(x) por (x – 1), e o quociente encontrado também dividimos por (x – 1). Os restos nas duas divisões devem ser nulos.
Devemos ter:
Resolvendo o sistema, encontramos:
a = –6 e b = 4
Exercícios Resolvidos
01. (FGV-SP) Para que o polinômio
P(x) =x3 – 8x + mx – n seja divisível por (x + 1)(x – 2), o produto m · n deve ser igual a:b
a)  – 8
b)    10
c) – 10
d)    8
e) – 6
Resolução
Condição: P(–1) = 0 e P(2) = 0
Resposta: B
02. Determine a e b de modo que o polinômio
P(x) = x3 + ax + b seja divisível por (x – 1)2.
Resolução
 a = -3 e b = 2
03. (UFSC-SC) Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x – 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1) · (x – 2) é da forma
ax + b, com a, b  R. Obter o valor numérico da expressão a + b.
Resolução
P(x) ÷ (x + 1)  r = P (–1)  P (–1) = 3
P(x) ÷ (x – 2)  r = P (2)  P (2) = 6
R(x) = ax + b
P(x) = (x + 1) (x – 2) Q (x) + ax + b
P (–1) = 3  – a + b = 3
P (2) = 6  2 a + b = 6
 a = 1 e b = 4
a + b = 5
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