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sexta-feira, 30 de maio de 2014

Polinômios

Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a é um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto dos números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de p(a) corresponde a p(x) onde x = a. Por exemplo, dado o polinômio p(x) = 4x² – 9x temos que seu valor numérico para x = 2 é calculado da seguinte maneira:

p(x) = 4x² – 9x
p(2) = 4 * 2² – 9 * 2
p(2) = 4 * 4 – 18
p(2) = 16 – 18
p(2) = –2


Se, ao calcularmos o valor numérico de um polinômio determinarmos p(a) = 0, temos que esse número dado por a corresponde à raiz do polinômio p(x). Observe o polinômio p(x) = x² – 6x + 8 quando aplicamos p(2) = 0.

p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 12 – 12
p(2) = 0

Dessa forma, percebemos que o número 2 é raiz do polinômio p(x) = x² – 6x + 8, pois temos que p(2) = 0.



Exemplo 1

Dado o polinômio p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10, determine o valor numérico de p(3).

p(3) = 4 * 3³ – 9 * 3² + 8 * 3 – 10
p(3) = 4 * 27 – 9 * 9 + 24 – 10
p(3) = 108 – 81 + 24 – 10
p(3) = 41


O valor de p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10 para p(3) é 41.


Exemplo 2

Determine o valor numérico de p(x) = 5x4 – 2x³ + 3x² + 10x – 6, para x = 2.

p(2) = 5 * 24 – 2 * 23 + 3 * 22 + 10 * 2 – 6
p(2) = 5 * 16 – 2 * 8 + 3 * 4 + 20 – 6
p(2) = 80 – 16 + 12 + 20 – 6
p(2) = 90

De acordo com o polinômio fornecido temos que p(2) = 90.
Termos semelhantes
Para que um polinômio tenha termos semelhantes ele deverá possuir dois ou mais monômios. Esses termos semelhantes são monômios encontrados em um mesmo polinômio que possui partes literais e expoentes iguais.

Veja o exemplo de polinômios com termos semelhantes:

2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x é um polinômio com 6 monômios.

2x2 e – 3x2 são semelhantes, pois as suas partes literais são as mesmas.

– 5x e 7x são semelhantes, pois possuem partes literais iguais.

+3 e – 3 são semelhantes, pois nenhum dos dois possui partes literais.

Sabendo quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar um do lado do outro.

2x2 – 3x2 – 5x + 7x + 3 – 3
↓ ↓ ↓
- x2 + 2x + 0

- x2 + 2x

O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante.


Grau de um polinômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x2 y4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.

Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele está com os termos semelhantes reduzidos se estiver escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é o do monômio que tiver o grau maior.

5x4 + 3x2 – 5 está escrito na forma reduzida e o monômio de maior grau é o 5x4, então o polinômio será do 4º grau.

x2 + 4x – x2 + 10, possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará
4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau.

Observe que os polinômios são formados através de coeficientes (an, an–1, an–2, ... , a2, a1, a0) pertencentes ao conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau, observe:

p(x) = 2x + 7 → grau 1

p(x) = 3x2 + 4x + 12 → grau 2

p(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 81 → grau 3

p(x) = 10x4 – 3x³ + 2x² + x – 10 → grau 4

p(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 1 → grau 5


As expressões polinomiais possuem valores numéricos. Para esse modelo de cálculo, basta substituir a incógnita x por um número real. Observe:

Vamos calcular o valor numérico do polinômio p(x) = 2x³ + 5x² + 6x – 10, para x = 3 ou p(3):

p(3) = 2 * (3)³ + 5 * (3)² – 6 * 3 – 10
p(3) = 2 * 27 + 5 * 9 – 18 + 11
p(3) = 54 + 45 – 18 + 11
p(3) = 92

Temos que p(3) = 92

Veja outro exemplo envolvendo o polinômio p(x) = 2x² – 15x + 3, para x = 9 ou p(9):

p(9) = 2 * 9² – 15 * 9 + 3
p(9) = 2 * 81 – 135 + 3
p(9) = 162 – 135 + 3
p(9) = 30

Portanto p(9) = 30


Ao calcularmos o valor numérico de um polinômio e encontrarmos como resultado zero, dizemos que o número trocado por x na expressão é a raiz do polinômio. Por exemplo, na expressão p(x) = x² – 6x + 8, temos que o número real 2 é considerado raiz do polinômio, pois:

p(x) = x² – 6x + 8
p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 0


Na expressão p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, verifique se o número real 2 é raiz do polinômio.

p(2) = –(2)² + 5 * 2 – 6
p(2) = –4 + 10 – 6
p(2) = –4 + 10 – 6
p(2) = – 10 + 10
p(2) = 0

Ao verificar p(2) = 0 no polinômio p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, concluímos que o número 2 é considerado sua raiz.


Observando mais um exemplo, vamos verificar se no polinômio
p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3) a condição p(3) = 0.

p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3)
p(x) = 4 – (x² – 10x + 25) – 2 * (x² + 3x – 3x – 9)
p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2 * (x² – 9)
p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2x² + 18
p(x) = –3x² + 10x – 3

p(3) = –3 * 3² + 10 * 3 – 3
p(3) = –3 * 9 + 30 – 3
p(3) = –27 + 30 – 3
p(3) = – 30 + 30
p(3) = 0

A condição de p(3) = 0 é verificada corretamente para o polinômio p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3). Dessa forma, temos que o número 3 é raiz do polinômio especificado.
O procedimento utilizado na adição e subtração de polinômios envolve técnicas de redução de termos semelhantes, jogo de sinal, operações envolvendo sinais iguais e sinais diferentes. Observe os exemplos a seguir:

Adição

Exemplo 1

Adicionar x2 – 3x – 1 com –3x2 + 8x – 6.

(x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) → eliminar o segundo parênteses através do jogo de sinal.

+(–3x2) = –3x2
+(+8x) = +8x
+(–6) = –6

x2 – 3x – 1 –3x2 + 8x – 6 → reduzir os termos semelhantes.

x2 – 3x2 – 3x + 8x – 1 – 6

–2x2 + 5x – 7

Portanto: (x2 – 3x – 1) + (–3x2 + 8x – 6) = –2x2 + 5x – 7


Exemplo 2

Adicionando 4x2 – 10x – 5 e 6x + 12, teremos:

(4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

4x2 – 10x – 5 + 6x + 12 → reduzir os termos semelhantes.

4x2 – 10x + 6x – 5 + 12

4x2 – 4x + 7

Portanto: (4x2 – 10x – 5) + (6x + 12) = 4x2 – 4x + 7

Subtração

Exemplo 3

Subtraindo –3x2 + 10x – 6 de 5x2 – 9x – 8.

(5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) → eliminar os parênteses utilizando o jogo de sinal.

– (–3x2) = +3x2
– (+10x) = –10x
– (–6) = +6

5x2 – 9x – 8 + 3x2 –10x +6 → reduzir os termos semelhantes.

5x2 + 3x2 – 9x –10x – 8 + 6

8x2 – 19x – 2

Portanto: (5x2 – 9x – 8) – (–3x2 + 10x – 6) = 8x2 – 19x – 2


Exemplo 4

Se subtrairmos 2x³ – 5x² – x + 21 e 2x³ + x² – 2x + 5, teremos:

(2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) → eliminando os parênteses através do jogo de sinais.

2x³ – 5x² – x + 21 – 2x³ – x² + 2x – 5 → redução de termos semelhantes.

2x³ – 2x³ – 5x² – x² – x + 2x + 21 – 5

0x³ – 6x² + x + 16

– 6x² + x + 16

Portanto: (2x³ – 5x² – x + 21) – (2x³ + x² – 2x + 5) = – 6x² + x + 16


Exemplo 5

Considerando os polinômios A = 6x³ + 5x² – 8x + 15, B = 2x³ – 6x² – 9x + 10 e C = x³ + 7x² + 9x + 20. Calcule:

a) A + B + C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) + (2x³ – 6x² – 9x + 10) + (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 + 2x³ – 6x² – 9x + 10 + x³ + 7x² + 9x + 20
6x³ + 2x³ + x³ + 5x² – 6x² + 7x² – 8x – 9x + 9x + 15 + 10 + 20
9x³ + 6x² – 8x + 45

A + B + C = 9x³ + 6x² – 8x + 45

b) A – B – C

(6x³ + 5x² – 8x + 15) – (2x³ – 6x² – 9x + 10) – (x³ + 7x² + 9x + 20)
6x³ + 5x² – 8x + 15 – 2x³ + 6x² + 9x – 10 – x³ – 7x² – 9x – 20
6x³ – 2x³ – x³ + 5x² + 6x² – 7x² – 8x + 9x – 9x + 15 – 10 – 20
6x³ – 3x³ + 11x² – 7x² – 17x + 9x + 15 – 30
3x³ + 4x² – 8x – 15

A – B – C = 3x³ + 4x² – 8x – 15
As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x3 + 9x2 – 3x

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)

- 10x3 + 2x2

Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5

6x2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)

(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2

15x3 + 6x – 5x2 – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2

• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2

10x3+ x2 + 3x – 2

Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
A explicação de divisão de polinômio por polinômio será feita através de um exemplo, onde todos os passos tomados serão explicados.

Exemplo: resolva a seguinte divisão (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5).

Antes de iniciarmos o processo da divisão é preciso fazer algumas verificações:

• Verificar se tanto o dividendo como o divisor está em ordem conforme as potências de x.
• Verificar se no dividendo, não está faltando nenhum termo, se estiver é preciso completar.

Feita as verificações podemos iniciar a divisão.

O dividendo possui 5 monômios (termos) e o divisor possui 3 monômios (termos).

6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5

• Iremos dividir o 1º termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor:

6x4 : 2x2 = 3x2

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor).

(2x2 – 4x + 5) . (3x2) = 6x4 – 12x3 + 15x2

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 (dividendo).


• Agora iremos levar em consideração o polinômio 2x3 – 6x2 + 9x - 5 e iremos dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).

2x3 : 2x2 = x

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)

(2x2 – 4x + 5) . (x) = 2x3 – 4x2 + 5x

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio 2x3 – 6x2 + 9x – 5.


Agora iremos levar em consideração o polinômio -2x2 +4x - 5e dividir seu 1º termo pelo primeiro termo do dividendo (2x2 – 4x + 5).

-2x2 : 2x2 = -1

• O resultado encontrado irá multiplicar o polinômio 2x2 – 4x + 5 (divisor)

(2x2 – 4x + 5) . (-1) = - 2x2 + 4x - 5

• O resultado desse produto deverá ser subtraído pelo polinômio -2x2 +4x – 5.


Portando, podemos dizer que (6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5) : (2x2 – 4x + 5) = 3x2 +x – 1, com resto igual a zero. Caso queira fazer a prova real, basta multiplicar (3x2 +x – 1) por 2x2 – 4x + 5 e verificar se a solução será 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5. Nesse caso, como o resto é zero, não é preciso somá-lo ao produto.
Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x).

Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i.

As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, basta aplicarmos o Teorema do Resto.

Para divisor igual a x – 3, a = 3.

P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3
P(3) = 9 – 12 + 3
P(3) = -3 + 3
P(3) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – 3.

Para divisor igual a x – i, a = i.

P(i) = i4 – 4 . i3 + 4 . i2 – 4 . i + 3
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3
P(i) = 1 – 4 + 3
P(i) = - 3 + 3
P(i) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – i.
fonte www.mundoeducacao.com.br

2 comentários:

  1. Ajuda ai pessoal P (x)= X ao quadardo +5X +6 nos seguintes casos A . P (i) b P(i+2) c. (i+2i)

    ResponderExcluir
  2. ai pessoal me aludam-me 2xy+5x³y³-10x²y² como eu sei que e do 6º ?
    to com muita duvida me ajudem .....
    obg

    ResponderExcluir

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