Pirâmides
Sejam uma região poligonal convexa A1A2A3...An, contida em um plano α. Consideramos todos os segmentos de reta que possuem em extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo V:
A união de todos esses segmentos de reta é um poliedro chamado de pirâmide limitada ou simplesmente pirâmide de vértice V e base A1A2A3...An . Indicamos essa pirâmide por VA1A2A3...An.
Elementos da pirâmide
• O ponto V é chamado de vértice da pirâmide.
• A região poligonal A1A2A3...An é chamada de base da pirâmide, sendo A1,A2,A3,...An os vértices da base.
• O polígono A1A2A3...An que limita a base é chamado de polígono da base da pirâmide.
• As demais faces, exceto a base, são chamadas de faces laterais da pirâmide. Por exemplo, os triângulos A1VA2, A2VA3, A3VA4,... são faces laterais.
• Os lados da base são chamados de arestas da base da pirâmide. Por exemplo, , ... são arestas da base.
• As demais arestas, exceto as das bases, são chamadas de arestas laterais da pirâmide. Por exemplo, , são arestas laterais.
• A distância entre o vértice V e o plano da base é chamada de altura da pirâmide.
• A soma das áreas de todas as faces laterais é chamada de área lateral da pirâmide.
• A soma da área lateral com a área da base é chamada de área total da pirâmide.
Pirâmide Regular
Uma pirâmide é regular se, e somente seu polígono da base é regular e a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base é o centro da base.
Observe que em toda pirâmide regular as arestas laterais são congruentes entre si e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.
Apótema de uma pirâmide regular
Chama-se apótema de uma pirâmide regular todo segmento de reta cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto de um dos lados da base.
Note que o apótema da pirâmide regular é a altura de um triângulo isósceles que é face lateral da pirâmide.
Teorema de Pitágoras e a pirâmide regular
Em uma pirâmide regular, sejam:
• H a medida da altura;
• m a medida do apótema da pirâmide;
• r a medida do apótema da base;
• b a medida de uma aresta da base;
• ℓ a medida de uma aresta lateral;
• R o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base.
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
Volume de uma pirâmide qualquer
O volume V de uma pirâmide qualquer é igual a do produto da área B de sua base por sua altura H.
Sejam uma região poligonal convexa A1A2A3...An, contida em um plano α. Consideramos todos os segmentos de reta que possuem em extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo V:
A união de todos esses segmentos de reta é um poliedro chamado de pirâmide limitada ou simplesmente pirâmide de vértice V e base A1A2A3...An . Indicamos essa pirâmide por VA1A2A3...An.
Elementos da pirâmide
• O ponto V é chamado de vértice da pirâmide.
• A região poligonal A1A2A3...An é chamada de base da pirâmide, sendo A1,A2,A3,...An os vértices da base.
• O polígono A1A2A3...An que limita a base é chamado de polígono da base da pirâmide.
• As demais faces, exceto a base, são chamadas de faces laterais da pirâmide. Por exemplo, os triângulos A1VA2, A2VA3, A3VA4,... são faces laterais.
• Os lados da base são chamados de arestas da base da pirâmide. Por exemplo, , ... são arestas da base.
• As demais arestas, exceto as das bases, são chamadas de arestas laterais da pirâmide. Por exemplo, , são arestas laterais.
• A distância entre o vértice V e o plano da base é chamada de altura da pirâmide.
• A soma das áreas de todas as faces laterais é chamada de área lateral da pirâmide.
• A soma da área lateral com a área da base é chamada de área total da pirâmide.
Pirâmide Regular
Uma pirâmide é regular se, e somente seu polígono da base é regular e a projeção ortogonal de seu vértice sobre o plano da base é o centro da base.
Observe que em toda pirâmide regular as arestas laterais são congruentes entre si e as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.
Apótema de uma pirâmide regular
Chama-se apótema de uma pirâmide regular todo segmento de reta cujos extremos são o vértice da pirâmide e o ponto de um dos lados da base.
Note que o apótema da pirâmide regular é a altura de um triângulo isósceles que é face lateral da pirâmide.
Teorema de Pitágoras e a pirâmide regular
Em uma pirâmide regular, sejam:
• H a medida da altura;
• m a medida do apótema da pirâmide;
• r a medida do apótema da base;
• b a medida de uma aresta da base;
• ℓ a medida de uma aresta lateral;
• R o raio da circunferência circunscrita ao polígono da base.
Pelo teorema de Pitágoras, temos:
Volume de uma pirâmide qualquer
O volume V de uma pirâmide qualquer é igual a do produto da área B de sua base por sua altura H.
"Volume de uma pirâmide qualquer
ResponderExcluirO volume V de uma pirâmide qualquer é igual a do produto da área B de sua base por sua altura H. "
área do volume da pirâmide é dado por produto da área da base pela altura dividido por 3