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quarta-feira, 31 de agosto de 2016

Progressão aritmetica

O estudo sobre sequências numéricas desperta o conhecimento das Progressões Aritméticas ou Geométricas. As relações existentes nas progressões são estudadas e analisadas no intuito de descobrir termos, razão e soma de termos. Nosso estudo será fundamentado nas Progressões Aritméticas, dando maior ênfase na interpolação de meios aritméticos entre termos.
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a1) e o último termo (an). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe:

Exemplo 1

Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a1=7 e a8=42.

Resolução
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:
an = a1 + (n – 1)*r
a8 = 7 + (8 – 1)*r
42 = 7 + 7r
42 – 7 = 7r
35 = 7r
r = 35/7
r = 5

A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42)


Exemplo 2

Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?
Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.
O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a1 = 104.
O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto an = 400.
De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:

an = 400
a1 = 104
r = 4
an = a1 + (n – 1)*r
400 = 104 + (n – 1)*4
400 = 104 + 4n – 4
400 + 4 – 104 = 4n
300 = 4n
n = 300 / 4
n = 75

Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.

Progressão aritmetica

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r


a n = a1 + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a n = a1 + (n – 1) . r

Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
2

Exemplo 2:

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a 8 = 79.

Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79

Sn = (a1 + an) . n
2

324 = (a1 + 79) . 8
2

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.

a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
7
r = 11
www.mundoeducacao.com.br

Interpolação de meios geométricos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Interpolação de meios geométricos

Marcelo Rigonatto


Progressões
As progressões geométricas são sequências numéricas que apresentam uma característica em comum: cada elemento, a partir do segundo, é obtido realizando o produto entre o termo anterior e uma constante q, denominada de razão da PG. Podemos notar a utilização das progressões em diversas áreas do conhecimento. Os pitagóricos já haviam descoberto, por exemplo, que na escala musical, os valores das frequências das sequências de notas de uma oitava, formam uma progressão geométrica.

Dentre os tópicos abordados no estudo da PG, temos a interpolação de meios geométricos. Interpolar meios geométricos entre dois números dados, a1 e an, é acrescentar números entre os dois que já foram dados para que a sequência numérica formada seja uma PG. Para realizar a interpolação de meios geométricos basta conhecer o valor da razão da progressão geométrica e utilizar a fórmula do termo geral:

an = a1∙q(n-1)

Onde,

a1 → é o primeiro termo da PG.
an → é o último termo da PG.
n → é o número dos termos da PG.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão:

Exemplo 1. Interpole cinco meios geométricos entre 7 e 5103.

Solução: Interpolar cinco meios geométricos entre 7 e 5103 equivale a dizer que devemos acrescentar cinco números entre 7 e 5103 para que a sequência formada seja uma PG.

(7, _, _, _, _, _, 5103)

Para isso, devemos encontrar o valor da razão dessa PG. Pela análise do exercício, temos que:

a1 = 7 e a7 = 5103 e n = 7 (pois a sequência apresenta 7 termos).

Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:

Conhecendo o valor da razão da PG podemos determinar os cinco termos que devem ficar compreendidos entre 7 e 5103.

a2 = a1*q = 7*3 = 21
a3 = a2*q = 21*3 = 63
a4 = a3*q = 63*3 = 189
a5 = a4*q = 189*3 = 567
a6 = a5*q = 567*3 = 1701

Portanto, interpolando cinco meios geométricos entre 7 e 5103, obtemos a PG:

(7, 21, 63, 189, 567, 1701, 5103)

Exemplo 2. Distribua 4 números entre 800 e 25 para que a sequência numérica formada seja uma progressão geométrica.

Solução: Queremos interpolar 4 meios geométricos entre 800 e 25.

(800, _, _, _, _, 25)

Precisamos conhecer o valor da razão dessa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral.
Sabemos que: n = 6, a1 = 800 e a6 = 25. Segue que:

Conhecido o valor da razão, podemos determinar os termos que devem ficar compreendidos entre 800 e 25.

a2 = a1*q = 800*0,5 = 400
a3 = a2*q = 400*0,5 = 200
a4 = a3*q = 200*0,5 = 100
a5 = a4*q = 100*0,5 = 50

Portanto, interpolando 4 meios geométricos entre 800 e 25, obtemos a seguinte PG:

(800, 400, 200, 100, 50, 25)

Progressão geométrica

É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por um número constante q (razão).

Exemplos:

a) (2, 4, 8, 16)

4 = 2.2

8 = 4.2 →a razão é 2.

16 = 8.2

b) (3, 9, 27, 81)

9 = 3.3

27 = 9.3 →a razão é 3.

81 = 27.3

FÓRMULA DO TERMO GERAL

A fórmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar um termo qualquer da P.G., sem precisar escrevê-la completamente, conhecendo apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica.

an = a1 . qn - 1

Na fórmula:

an = termo geral;

a1 = primeiro termo;

q = razão;

n = número de termos.


Aplicação

Achar o sexto termo da PG (1, 4...).

Solução:

a1 = 1, q = 4 e n = 6

an = a1 . qn-1

a6 = 1 . 46 - 1

a6 = 1 024

Antonio Carlos Carneiro Barroso
http://ensinodematemtica.blogspot.com
extraido de www.colegioweb.com.br

PA E PG

Progressão Aritmética





PG


fonte:http://www.matematiques.com.br

PROGRESSÃO GEOMETRICA


Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br  
extraído do www.mundoeducacao.com.br

PROGRESSÃO GEOMETRICA
.
.
Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão.

• Seja a seqüência: (2,4,8,16,32,...)

Observamos que:
4 = 2 x 2
8 = 4 x 2
16 = 8 x 2

- Observamos que o termo posterior é igual ao termo anterior multiplicado por um número fixo;
- Toda seqüência que tiver essa lei de formação chama-se progressão Geométrica (P.G.);
- A esse número fixo damos o nome de razão (q);

• Representação Matemática:

q = an / an-1

• Classificação:

1. (2,6,18,54,...) - P.G. Crescente ;

2. (-2,-6,-18,-54,...) - P.G. Decrescente;

3. (6,6,6,6,6,...) - P.G. Constante - q = 1 ;

4. (-2, 6, -18, 54,...) - P.G. Alternante - q < a2 =" a1" a3 =" a2" a3 =" a1" an =" a1">•

Interpolação Geométrica:

Exemplo: 1,__,__,__,__,243
a6 = a1 .q5
243= 1.q5
q = 3
Logo: (1,3,9,27,81,243);



• Soma dos Termos de uma P.G. finita:


Sn = a1 . (qn - 1) / q-1
• Soma dos Termos de uma P.G. infinita:
- Se expressões do tipo qn quando: 0 < sn =" a1">Exemplos:
1) Numa PG de 6 termos, o primeiro termo é 2 e o último é 486. Calcular a razão dessa PG
Resolução: n= 6
a1 = 2
a6 = 486
a6 = a1.q5
486 = 2 . q5
q = 3

Resposta: q = 3

2)Ache a progressão aritmética em que:
a1 + a2 + a3 = 7
a4 + a5 + a6 = 56

Resolução:
transformando, temos:
a1 + a1 .q + a1. q2 = 7 Þ a1 (1 + q + q2 ) = 7 I
a4 + a5 + a6 = 56 Þ a1.q3(1 + q + q2 ) = 56 II

Dividindo-se II por I :
q3 = 8 Þ q = 2
de I vem:
a1 (1 + 2 + 4) = 7 Þ a1 = 1
Resposta: (1, 2 , 4, 8, ...)

3)Interpolar ou inserir três meios geométricos entre 3 e 48.

Resolução: O problema consiste em formar uma PG, onde:
a1 = 3
an = 48
n = 3 + 2 = 5
Devemos, então, calcular q:
an = a1.qn-1
48 = 3 . q4
q = ±2
Para q = 2 Þ (3 , 12, 24, 48)
Para q = -2 Þ (3, -6, 12, -24, 48)


4)Dar o valor de x na igualdade x + 3x +... +729x=5465, sabendo-se que os termos do 1° membro formam uma P.G.

Resolução:
a1 = x
q = 3x/x= 3
an = 729x
Sn= 5465

Cálculo de n:

an= a1q n-1
729x = x . 3 n-1 (veja que x ¹ 0)
729 = 3 -1
36 = 3 n-1
n = 7

Sn = a1 . (qn - 1) / q-
5465 = x (37 – 1)/ (3 – 1)
x = 5

Resposta: x = 5

5) Calcular a fração geratriz da dizima 0, 3131...

Resolução:

0,3131... = 0,31 + 0,0031+ ... (uma PG)
a1 = 0,31
q = 0,01

Sn = a1 / 1-q
Sn = 0,31/1-0,01
Sn= 31/99

Resposta: A fração geratriz é da dízima é 31/99


EXERCÍCIOS


1) Determine o número de termos da PG (1,2,.....256) (R:9)

2) Qual é o primeiro termo de uma PG na qual o 11° termo é 3072 e a razão é 2? (R:3)

3) Numa PG o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa PG? (R:10)

4)Os cinco primeiros termos de uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é 2 e a razão é 3 , são:
a) (2,5,8,11,14)
b) (2,6,36,72,108)
c) (2,6,18,72,144)
d) (2,6,18,54,162)
e) (2,8,36,108,216)

5) Determine o 31º termo da PG (4,6,9...)

6) Numa PG de doze termos o primeiro é igual a 5 e a razão é 2.Determine o ultimo termo.

7) Calcule o primeiro termo de uma PG, sabendo que a9 = 1280 e q=2

8) Escreva os 8 primeiros termos da progressão geometrica, cujo primeiro termo é 5 e cuja a razão é 2 (R: 05,10,20,40,80,160,320,640)

9) O numero x é positivo e os números 8, x e x + 6 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica . calcule o x (R: 12)

10) Calcule o valor de x em cada uma das progressões geométricas abaixo
a) 4 , 12, x
b) 2, x, 50
c) x, 6, 9

11) Determine o 12° termo da PG 7,14,28,...... (R:14336)

Progressão Geométrica, PG

1 – Definição
Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão.
Exemplos:
(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2
(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1
(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2
(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2 - Fórmula do termo geral
Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3................................................
................................................

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.
Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:
a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.
Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:
a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4
Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:
(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais
P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.
Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.
Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)
Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG
Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue:
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:
Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:
Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:
Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:
Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)
Temos:


Observe que neste caso a1 = 1.
5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:
Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100
Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:


Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50
6 – Exercícios resolvidos e propostos
6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .
Solução:
Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:
x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:
9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:
3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é:
9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:A)1
*B) 10
C) 100
D) -1
E) -10

Solução:
Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)

Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes,
resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente
é igual a:
A)1/x
*B) x
C) 2x
D) n.x
E) 1978x

Solução:
Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e
razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
*d) 48°
e) 50°
Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
( x, 2x, 4x, 8x ).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

Agora resolva este:

Calcular a razão de uma PG crescente, sabendo-se que o seu primeiro termo é o dobro da razão e que a soma dos dois primeiros termos é 24.Resposta: 3

Progressão Geométrica (P.G.) e (PA) parte I

Esta matéria aborda o conceito e propriedades de sequência ou sucessão, com ênfase nas que possui uma fórmula bem definida que permite calcular qualquer um de seus termos. Ou seja, das sequências que possuem uma lei de formação que estabelece uma relação entre o valor de seus termos e sua posição.
Especificamente, das duas mais conhecidas: a Progressão Aritmética (PA) e a Progressão Geométrica (PG), dividido em três partes (a primeira este artigo e as demais serão publicadas oportunamente):
  • Parte I – teoria sobre PA;
  • Parte II – teoria sobre PG;
  • Parte III – exercícios resolvidos sobre PA e PG.
Mas antes precisamos conhecer a definição do que seja uma sequência ou sucessão.

Sequências ou Sucessões

Uma sequência ou sucessão é um conjunto ordenado (finito ou infinito) de elementos de qualquer natureza, em que cada elemento fica naturalmente seqüenciado.
Um conjunto ordenado é um conjunto que possui uma relação de ordem.
E uma relação de ordem é definida para pares de elementos de um conjunto S, e têm que, necessariamente, possuir três características:
  • anti-simetria: para todo a \in S e b \in S, a \le b ou a \ge b;
  • se a \le b e a \ge b, então a = b \,\!;
  • transitividade: se a \le b e b \le c, então a \le c.
São exemplos de sequências:
  • sequência dos dias da semana: domingo; segunda-feira; terça-feira; quarta-feira; quinta-feira; sexta-feira; sábado;
  • sequência dos 100 primeiros números inteiros positivos: 1; 2; 3; … ; 98; 99; 100;
  • Os números de Fibonacci (esta seqüência foi descrita primeiramente por Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci (c. 1200), para descrever o crescimento de uma população de coelhos): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…
Note que todos os exemplos possuem as três características definidas na relação de ordem.
A título de ilustração, abrindo um parênteses, apresento a seguir a fórmula recursiva que define os números de Fibonacci (n pertencente ao conjunto dos números Naturais):
Fórmula de Fibonacci
Na prática: você começa com 0 e 1, e então produz o próximo número de Fibonacci somando os dois anteriores.
A representação de uma sequência é feita escrevendo-se seus elementos, ou termos, entre parênteses. Assim, o segundo exemplo acima, é representado por:
(1; 2; 3; … ; 98; 99; 100)
Da definição de sequência, onde a ordem de seus elementos é uma condição necessária, temos que:
( 1; 3; 5; 7; 9; 11) é diferente de (1; 3; 7; 5; 9; 11)
Genericamente, sua representação pode ser escrita como:
(a1; a2; a3; …; an-1; an; …)
onde n pertence ao conjunto dos números naturais positivos. Os índices indicam a posição dos termos na sequência (a1 representa o primeiro termo, an representa o enésimo termo, …).
Formalmente, uma sequência ou sucessão numérica pode ser definida como uma função dos números naturais menos o zero em R:
Definição de Sequência
Uma sequência numérica é finita se o domínio de f é finito, isto é, i varia de 1 a n pertencente ao conjunto dos números Naturais (i = 1, 2, …, n), também conhecida como n-upla. E infinita quando o domínio é o próprio conjunto dos números Naturais positivos (i = 1, 2, …., n-1, n, …).
Três termos consecutivos qualquer de uma sequência podem ser representados por:
an-1, an, an+1
onde an-1 é o antecessor de an e an+1 é o sucessor de an.

Lei de Formação

Interessam à Matemática as sequências numéricas para as quais é possível estabelecer uma lei de formação, ou seja uma fórmula que permita calcular qualquer um de seus termos. Ou em outras palavras as sequências numéricas em que seus termos se sucedem obedecendo a uma regra.
Estas leis de formação podem ser apresentadas das maneiras a seguir:
a) Por Recorrência
São dadas duas ou mais regras: uma (ou mais) que define os termos iniciais da sequência e outra para calcular os demais termos a partir de antecessores.
Exemplos:
  • Os números de Fibonacci: definidos a1 = 0 e a2 = 1 e a regra F(n-1) + F(n-2) que corresponde à soma dos dois antecessores para definir os demais termos;
  • a1 = 5, an = an-1 + 3 e n = 5: a1 = 5, a2 = a1 + 3 = 8, a3 = a2 + 3 = 11, a4 = a3 + 3 = 14, a5 = a4 + 3 = 17 => (5; 8; 11; 14; 17)
b) Em função do índice da sequência (posição)
Exemplos:
  • an = 2n + 3, n = 1, 2, 3, 4, 5: (5; 7; 9; 11; 13);
  • an = 2n, n Natural diferente de zero: (2; 4; 8; 16; …).
c) Por propriedade dos termos
Exemplos:
  • A sequência cujos termos são os primeiros cinco números primos: (2; 3; 5; 7; 11);
  • A sequência dos números inteiros ímpares menores do que 20: (1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19).

Progressões Aritméticas (PA)

Define-se progressão aritmética como toda sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma de seu antecessor por um número constante r. r é denominado a razão da PA. Em símbolos:
an = an-1 + r (n >= 2)
As PA são classificadas em três tipos:
Uma PA é crescente quando r > 0, ou seja, quando cada termo é maior do que seu antecessor (claro, a partir do segundo). De fato, da definição decorre que:
an – an-1 = r > 0 <==> an – an-1 > 0 <==> an > an-1
Uma PA é constante quando r = 0, ou seja, quando cada termo é igual ao antecessor:
an – an-1 = r = 0 <==> an – an-1 = 0 <==> an = an-1
Uma PA é decrescente quando r <>
an – an-1 = r <> an – an-1 <> an <>n-1
Fórmula do Termo Geral de uma PA
Seja (a1; a2; a3; …; an-1; an; …) uma PA qualquer de razão r. Então seu enésimo termo (an) é:
an = a1 + (n – 1)r
Demonstração:
Sabemos, da definição de uma PA, que a diferença entre cada termo e seu antecessor é igual a razão, isto é:
a2 – a1 = r, a3 – a2 = r, a4 – a3 = r, …, an – an-1 = r
Somando, membro a membro, estas n – 1 igualdades, obtemos:
a2 – a1 + a3 – a2 + a4 – a3 + … + an – an-1 = (n – 1)r
Cancelando os termos comuns:
-a1 + an = (n – 1)r => an = a1 + (n – 1)r
Observações:
  • Da definição decorre que uma PA fica determinada quando conhecemos o primeiro termo e a razão;
  • Em uma PA finita a1 e an são denominados os seus extremos e os demais termos os meios aritméticos;
  • A fórmula do termo geral de uma PA nos diz que para calcular o termo de ordem n é suficiente somarmos (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo;
  • Do mesmo modo, essa fórmula permite calcular o número de termos de uma PA finita conhecendo-se seus extremos e a razão.
Termos Equidistantes dos Extremos
Dados os dois termos ap e aq de uma PA finita com n termos, dizemos que eles são equidistantes dos extremos se o número de termos que antecedem ap – (p – 1) termos – é igual ao número de termos que sucedem aq – (n – q) termos.
Da definição vem que:
p – 1 = n – q => p + q = n + 1
Essa relação nos permite dizer, por exemplo, que em uma PA finita com 30 termos, o termo 6 é equidistante do 25, uma vez que 6 + 25 = 30 + 1.

Soma dos termos de uma PA finita

Antes de deduzir a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA finita, vamos demonstrar a seguinte propriedade:
PA1. Em uma PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
Demonstração:
Sejam ap e aq dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita com n termos. O que vamos provar é:
ap + aq = a1 + an
Pela fórmula do termo geral:
ap = a1 + (p – 1)r e aq = a1 + (q – 1)r
Somando os membros das igualdades obtemos:
ap + aq = a1 + (p – 1)r + a1 + (q – 1)r = a1 + a1 + (p + q – 2)r
Substituindo p + q (veja definição acima):
ap + aq = a1 + a1 + (n + 1 – 2)r = a1 + a1 + (n – 1)r
E pela definição do termo geral de uma PA:
ap + aq = a1 + an
PA2. A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada pela fórmula:
Fórmula da Soma de uma PA finita
Demonstração:
Pela propriedade PA1 temos que (note que a soma de todos os índices de cada parcela é igual a n + 1, e portanto, equidistantes dos extremos):
a2 + an-1 = a3 + an-2 = … = a1 + an
Por outro lado:
Sn = a1 + a2 + … + an
=> Sn + Sn = 2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + … + (an + a1)
onde ordenamos as parcelas convenientemente, primeiro termo do primeiro Sn com o último do segundo, e assim por diante, de modo a obter n parcelas iguais a a1 + an. Logo:
2Sn = (a1 + an)n => Sn = [(a1 + an)n]/2 c.q.d.
PA3. A soma dos n primeiros inteiros positivos é:
Fórmula da Soma dos n primeiros inteiros positivos
Demonstração:
Consequência direta de PA2, uma vez que a1 = 1 e an = n.
Referências:
  1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
  2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001